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J. Bertin, Ch. Peters, Partie I. Variations de structures de Hodge
filtration par le poids W • ´ etant elle d´ efinie sur Q. Tr` es important est le r´ esultat
suivant, qui est en fait une partie du th´ eor` eme de l’orbite nilpotente de Schmid.
4.3. Th´ eor` eme ([S]). Les filtrations F
•
∞ (filtration de Hodge limite) et W •
d´ efinissent une structure de Hodge mixte sur H. (On oublie les polarisations !)
Il y a une g´ en´ eralisation qui est beaucoup plus d´ elicate (th´ eor` eme de l’orbite
Sl(2) en n variables) avec des applications aux d´ eg´ en´ erescences en n param` etres.
Voir [C-K-S1].
Pour le cas d’une d´ eg´ en´ erescence ` a un param` etre, Steenbrink [St1] et ClemensSchmid [Cl] ont construit cette structure mixte d’une fa¸ con g´ eom´ etrique et en
tirent des cons´ equences importantes, par exemple :
4.4. Th´ eor` eme. Une classe de H
k (X s , Q) est invariante si et seulement si elle
est la restriction d’une classe globale sur H
k (X, Q). (le th´ eor` eme du cycle local
invariant)
Cette assertion, bien qu’intuitivement claire, est fausse dans le cadre nonk¨ ahl´ erien !
4.C. Cycles proches et ´ evanescents
Por aider le lecteur, il sera utile de rappeler ici les constructions des faisceaux
des cycles proches et des cycles ´ evanescents associ´ es ` a une d´ eg´ en´ erescence f : X →
∆ (ou plus g´ en´ eralement ` a une fonction f : X → C). Ces faisceaux ont un support
contenu dans X 0 = f
−1 (0).
La construction utilise la fibre de Milnor en x ∈ X qui est l’intersection
d’une petite sph` ere autour de x de dimension r´ eelle maximale dans X avec X t , t
proche de 0. On peut montrer que le type d’homotopie de la fibre de Milnor est
ind´ ependant de t et du rayon de la sph` ere, pourvu que ceux-ci soient soigneusement
choisis (voir [Mil]). On calcule les groupes de cohomologie resp. les groupes de
cohomologie r´ eduits. Pour x variable, ces groupes constituent des faisceaux et on
peut construire deux complexes qui “calculent” ces deux groupes de cohomologie
le complexe des cycles proches resp. le complexe des cycles ´ evanescents. Ils sont
d´ efinis comme suit : pour d´ efinir le complexe ψ f (C X ) des cycles proches, on prend
une r´ esolution injective du faisceau constant sur ˜
X, ensuite on restreint l’image
directe par k : ˜
X → X ` a X 0 (en d’autres termes ψ f (C X ) = i
∗ Rk ∗ C ˜
X , l’image
r´ eciproque par i : X 0 → X de l’image directe d´ eriv´ ee par k du faisceau constant
sur ˜
X). Le complexe des cycles ´ evanescents φ f (C X ) est d´ efini comme le cˆ one du
morphisme naturel C X 0 → ψ f (C X ) provenant de C X → Rk ∗ k
∗ C X .
Rappelons que le cˆ one C(f )
• d’un morphisme f
• : A
• → B
• entre complexes
est d´ efini par : C
p (f ) = A
p+1 ⊕ B
p avec la d´ erivation donn´ ee par
−d
p+1
A
0
f
p
d
p
B
.
On a une suite exacte courte 0 → B
• → C(f )
• → A
• [1] → 0 et en appliquant
cette suite dans le cas consid´ er´ e ici on trouve bien que pour j > 0, H
j (φ f (C X )) =
H
j (ψ f (C X )) calcule le j-i` eme groupe de cohomologie des fibres de Milnor tandis
J. Bertin, Ch. Peters, Partie I. Variations de structures de Hodge
filtration par le poids W • ´ etant elle d´ efinie sur Q. Tr` es important est le r´ esultat
suivant, qui est en fait une partie du th´ eor` eme de l’orbite nilpotente de Schmid.
4.3. Th´ eor` eme ([S]). Les filtrations F
•
∞ (filtration de Hodge limite) et W •
d´ efinissent une structure de Hodge mixte sur H. (On oublie les polarisations !)
Il y a une g´ en´ eralisation qui est beaucoup plus d´ elicate (th´ eor` eme de l’orbite
Sl(2) en n variables) avec des applications aux d´ eg´ en´ erescences en n param` etres.
Voir [C-K-S1].
Pour le cas d’une d´ eg´ en´ erescence ` a un param` etre, Steenbrink [St1] et ClemensSchmid [Cl] ont construit cette structure mixte d’une fa¸ con g´ eom´ etrique et en
tirent des cons´ equences importantes, par exemple :
4.4. Th´ eor` eme. Une classe de H
k (X s , Q) est invariante si et seulement si elle
est la restriction d’une classe globale sur H
k (X, Q). (le th´ eor` eme du cycle local
invariant)
Cette assertion, bien qu’intuitivement claire, est fausse dans le cadre nonk¨ ahl´ erien !
4.C. Cycles proches et ´ evanescents
Por aider le lecteur, il sera utile de rappeler ici les constructions des faisceaux
des cycles proches et des cycles ´ evanescents associ´ es ` a une d´ eg´ en´ erescence f : X →
∆ (ou plus g´ en´ eralement ` a une fonction f : X → C). Ces faisceaux ont un support
contenu dans X 0 = f
−1 (0).
La construction utilise la fibre de Milnor en x ∈ X qui est l’intersection
d’une petite sph` ere autour de x de dimension r´ eelle maximale dans X avec X t , t
proche de 0. On peut montrer que le type d’homotopie de la fibre de Milnor est
ind´ ependant de t et du rayon de la sph` ere, pourvu que ceux-ci soient soigneusement
choisis (voir [Mil]). On calcule les groupes de cohomologie resp. les groupes de
cohomologie r´ eduits. Pour x variable, ces groupes constituent des faisceaux et on
peut construire deux complexes qui “calculent” ces deux groupes de cohomologie
le complexe des cycles proches resp. le complexe des cycles ´ evanescents. Ils sont
d´ efinis comme suit : pour d´ efinir le complexe ψ f (C X ) des cycles proches, on prend
une r´ esolution injective du faisceau constant sur ˜
X, ensuite on restreint l’image
directe par k : ˜
X → X ` a X 0 (en d’autres termes ψ f (C X ) = i
∗ Rk ∗ C ˜
X , l’image
r´ eciproque par i : X 0 → X de l’image directe d´ eriv´ ee par k du faisceau constant
sur ˜
X). Le complexe des cycles ´ evanescents φ f (C X ) est d´ efini comme le cˆ one du
morphisme naturel C X 0 → ψ f (C X ) provenant de C X → Rk ∗ k
∗ C X .
Rappelons que le cˆ one C(f )
• d’un morphisme f
• : A
• → B
• entre complexes
est d´ efini par : C
p (f ) = A
p+1 ⊕ B
p avec la d´ erivation donn´ ee par
−d
p+1
A
0
f
p
d
p
B
.
On a une suite exacte courte 0 → B
• → C(f )
• → A
• [1] → 0 et en appliquant
cette suite dans le cas consid´ er´ e ici on trouve bien que pour j > 0, H
j (φ f (C X )) =
H
j (ψ f (C X )) calcule le j-i` eme groupe de cohomologie des fibres de Milnor tandis