4. D´ eg´ en´ erescence
207
Ce qui conduit ` a une trivialisation privil´ egi´ ee de H sur ∆
∗ . Dans cette trivialisation, les sections horizontales (celles qu’on ´ etend en s = 0), sont les sections
α(s) = (s, α) sur les nouvelles coordonn´ ees. Avec les anciennes, cela signifie que si
α ∈ H = (H) s 0 , le prolongement analytique de α d´ efinit une section multiforme
du faisceau localement constant H C , et s → exp
−
log s
2πi N
α(s) d´ efinit une section
holomorphe du fibr´ e vectoriel, qui est horizontale relativement ` a la trivialisation
privil´ egi´ ee. Par d´ efinition, la section
α
∗ (s) = exp
−
log s
2πi
N
α(s)
est d´ efinie en s = 0. Ce sont les sections horizontales du fibr´ e vectoriel ˜
H(X/S),
´ etendu ` a tout le disque ∆.
Le r´ esultat fondamental de W. Schmid est le suivant [S] :
4.2. Th´ eor` eme. Les fibr´ es de Hodge F
p ⊂ H(X/S), se prolongent en des sousfibr´ es du fibr´ e prolong´ e ˜
H(X/S). En particulier, on a en s = 0, une filtration limite
F
• (0) ∈ ˇ
D (en g´ en´ eral F
• (0) /
∈ D).
Le th´ eor` eme peut s’´ enoncer d’une autre mani` ere : soit
Φ : h −→ D ⊂ ˇ
D .
Alors si
ψ(τ ) = exp(−τ N )
Φ(τ ), on a
ψ(τ + 1) =
ψ(τ ), par suite
ψ d´ efinit une
fonction holomorphe ψ : ∆
∗ → ˇ
D par ψ(s) =
ψ
log s
2πi
. Le r´ esultat est que ψ
se prolonge holomorphiquement en une application ψ : ∆ → ˇ
D. Rappelons que
H = H
k (X t 0 , Z)/torsion. On consid` ere ψ(0) comme une filtration
0 ⊂ F
k
∞ ⊂ F
k−1
∞
⊂ · · · ⊂ F
0
∞
sur H ⊗ C, la filtration limite.
Une seconde partie du th´ eor` eme de Schmid que nous n’utiliserons pas est la
suivante : soit “l’orbite nilpotente”
N (τ ) = exp(τ N )[F
• (0)] .
Alors pour Im τ ≫ 0, N (τ ) ∈ D, et N est horizontale ; donc N (τ ) d´ efinit pour
Im τ assez grand une variation de structure de Hodge, dont on peut prouver qu’elle
fournit une approximation de la variation initiale (en un sens ` a pr´ eciser).
Introduisons la filtration par le poids (de la monodromie). Elle d´ ecoule de
la construction suivante [S] : soit V un espace vectoriel sur un corps K de
caract´ eristique z´ ero, et N ∈ End(V ), tel que N
k+1 = 0. Alors il y a une filtration
unique :
W −1 = {0} ⊂ W 0 ⊂ W 1 ⊂ · · · ⊂ W 2k = V
telle que : N (W α ) ⊆ W α−2 , et telle que N
ℓ induise un isomorphisme : Gr
W
k+ℓ
∼
−→
Gr
W
k−ℓ , o` u Gr
W
α = W α /W α−1 . On a ainsi sur H, deux filtrations F
•
∞ et W
• , la
207
Ce qui conduit ` a une trivialisation privil´ egi´ ee de H sur ∆
∗ . Dans cette trivialisation, les sections horizontales (celles qu’on ´ etend en s = 0), sont les sections
α(s) = (s, α) sur les nouvelles coordonn´ ees. Avec les anciennes, cela signifie que si
α ∈ H = (H) s 0 , le prolongement analytique de α d´ efinit une section multiforme
du faisceau localement constant H C , et s → exp
−
log s
2πi N
α(s) d´ efinit une section
holomorphe du fibr´ e vectoriel, qui est horizontale relativement ` a la trivialisation
privil´ egi´ ee. Par d´ efinition, la section
α
∗ (s) = exp
−
log s
2πi
N
α(s)
est d´ efinie en s = 0. Ce sont les sections horizontales du fibr´ e vectoriel ˜
H(X/S),
´ etendu ` a tout le disque ∆.
Le r´ esultat fondamental de W. Schmid est le suivant [S] :
4.2. Th´ eor` eme. Les fibr´ es de Hodge F
p ⊂ H(X/S), se prolongent en des sousfibr´ es du fibr´ e prolong´ e ˜
H(X/S). En particulier, on a en s = 0, une filtration limite
F
• (0) ∈ ˇ
D (en g´ en´ eral F
• (0) /
∈ D).
Le th´ eor` eme peut s’´ enoncer d’une autre mani` ere : soit
Φ : h −→ D ⊂ ˇ
D .
Alors si
ψ(τ ) = exp(−τ N )
Φ(τ ), on a
ψ(τ + 1) =
ψ(τ ), par suite
ψ d´ efinit une
fonction holomorphe ψ : ∆
∗ → ˇ
D par ψ(s) =
ψ
log s
2πi
. Le r´ esultat est que ψ
se prolonge holomorphiquement en une application ψ : ∆ → ˇ
D. Rappelons que
H = H
k (X t 0 , Z)/torsion. On consid` ere ψ(0) comme une filtration
0 ⊂ F
k
∞ ⊂ F
k−1
∞
⊂ · · · ⊂ F
0
∞
sur H ⊗ C, la filtration limite.
Une seconde partie du th´ eor` eme de Schmid que nous n’utiliserons pas est la
suivante : soit “l’orbite nilpotente”
N (τ ) = exp(τ N )[F
• (0)] .
Alors pour Im τ ≫ 0, N (τ ) ∈ D, et N est horizontale ; donc N (τ ) d´ efinit pour
Im τ assez grand une variation de structure de Hodge, dont on peut prouver qu’elle
fournit une approximation de la variation initiale (en un sens ` a pr´ eciser).
Introduisons la filtration par le poids (de la monodromie). Elle d´ ecoule de
la construction suivante [S] : soit V un espace vectoriel sur un corps K de
caract´ eristique z´ ero, et N ∈ End(V ), tel que N
k+1 = 0. Alors il y a une filtration
unique :
W −1 = {0} ⊂ W 0 ⊂ W 1 ⊂ · · · ⊂ W 2k = V
telle que : N (W α ) ⊆ W α−2 , et telle que N
ℓ induise un isomorphisme : Gr
W
k+ℓ
∼
−→
Gr
W
k−ℓ , o` u Gr
W
α = W α /W α−1 . On a ainsi sur H, deux filtrations F
•
∞ et W
• , la