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J. Bertin, Ch. Peters, Partie I. Variations de structures de Hodge
On fixe un point de base v ∈ D, et on identifie D avec l’orbite G R /V de
v. L’application G R → D est propre car V est compact. Soit ˜
Φ(in) = g n v
on a d D (g n v, T g n v) = d D (v, g
−1
n T g n v) 1/n car d D est G R -invariante. Donc
g
−1
n T g n v → v. Quitte ` a consid´ erer une sous-suite de {g n }, on peut supposer que
g
−1
n T g n converge vers un ´ el´ ement g de V . Du fait que V est compact (un sousgroupe d’un groupe unitaire), les valeurs propres de g, et donc de T sont des
nombres complexes de module un. L’´ el´ ement T est en fait dans G Z , alors si λ est
une valeur propre de T , il en est de mˆ eme pour tout complexe conjugu´ e, et alors
par un fait classique (Kronecker), λ doit ˆ etre une racine de l’unit´ e.
Expliquons maintenant le r´ esultat fondamental [S] de W. Schmid : “Le
th´ eor` eme de l’orbite nilpotente” pour une VHS de base ∆
∗ . Ici ∆ est un disque
avec param` etre s, et ∆
∗ = ∆ {0}. Rappelons que le revˆ etement universel de ∆
∗
est donn´ e par
h → ∆
∗ , τ → s = exp(2πiτ ).
La monodromie du faisceau localement constant H Z est d´ ecrite par le prolongement
analytique le long d’un cercle d´ ecrit en sens inverse des aiguilles d’une montre qui
est donc un op´ erateur T sur (H Z ) s 0 = H Z (on fixe un point de base s 0 ∈ ∆
∗ ).
Rappelons que cela signifie que l’image inverse de H Z sur h est le faisceau constant
h × H Z , avec l’op´ eration σ : (τ, α) → (τ + 1, T
−1 α), et que H Z = h × H Z /{σ}.
Le fibr´ e vectoriel holomorphe H := H Z ⊗ O ∆ ∗ , sur ∆
∗ est trivial pour
des raisons g´ en´ erales : un fibr´ e holomorphe sur une surface de Riemann noncompacte est trivialisable ([Fo,§30]). On peut dans la situation pr´ esente choisir
une trivialisation privil´ egi´ ee, en utilisant le fait que la monodromie est quasiunipotente.
On suppose que T est en fait un op´ erateur unipotent (T − 1)
m = 0, pour
simplifier un peu. Alors N = log(T ) = (T −1)−
1
2 (T −1)
2 +· · ·+(−1)
m−2 1
m−1 (T −
1)
m−1 est d´ efini, et N ∈ g Q , i.e. N est un ´ el´ ement rationnel de l’alg` ebre de Lie
du groupe G C , le groupe des isom´ etries de (H C , Q). Noter que pour tout t ∈ C,
exp(tN ) ∈ G C .
Trivialiser le fibr´ e vectoriel H = H(X/S) sur ∆
∗ revient, suite ` a la description
H = h × H/{σ}
(ici H est muni de la topologie complexe, d’espace vectoriel) ` a trivialiser la classe
{T } dans H
1 (Z, G C ).
Il suffit de constater que
exp((τ + 1) · N ) · exp(τ N )
−1 = T .
En d’autres termes, si θ(τ, α) = (τ, exp(τ N )α) est un “changement de coordonn´ ees” sur h × H, l’action de π 1 (∆
∗ ) devient sur les nouvelles coordonn´ ees :
(θσθ
−1 )(τ, α) = (τ + 1, α).
J. Bertin, Ch. Peters, Partie I. Variations de structures de Hodge
On fixe un point de base v ∈ D, et on identifie D avec l’orbite G R /V de
v. L’application G R → D est propre car V est compact. Soit ˜
Φ(in) = g n v
on a d D (g n v, T g n v) = d D (v, g
−1
n T g n v) 1/n car d D est G R -invariante. Donc
g
−1
n T g n v → v. Quitte ` a consid´ erer une sous-suite de {g n }, on peut supposer que
g
−1
n T g n converge vers un ´ el´ ement g de V . Du fait que V est compact (un sousgroupe d’un groupe unitaire), les valeurs propres de g, et donc de T sont des
nombres complexes de module un. L’´ el´ ement T est en fait dans G Z , alors si λ est
une valeur propre de T , il en est de mˆ eme pour tout complexe conjugu´ e, et alors
par un fait classique (Kronecker), λ doit ˆ etre une racine de l’unit´ e.
Expliquons maintenant le r´ esultat fondamental [S] de W. Schmid : “Le
th´ eor` eme de l’orbite nilpotente” pour une VHS de base ∆
∗ . Ici ∆ est un disque
avec param` etre s, et ∆
∗ = ∆ {0}. Rappelons que le revˆ etement universel de ∆
∗
est donn´ e par
h → ∆
∗ , τ → s = exp(2πiτ ).
La monodromie du faisceau localement constant H Z est d´ ecrite par le prolongement
analytique le long d’un cercle d´ ecrit en sens inverse des aiguilles d’une montre qui
est donc un op´ erateur T sur (H Z ) s 0 = H Z (on fixe un point de base s 0 ∈ ∆
∗ ).
Rappelons que cela signifie que l’image inverse de H Z sur h est le faisceau constant
h × H Z , avec l’op´ eration σ : (τ, α) → (τ + 1, T
−1 α), et que H Z = h × H Z /{σ}.
Le fibr´ e vectoriel holomorphe H := H Z ⊗ O ∆ ∗ , sur ∆
∗ est trivial pour
des raisons g´ en´ erales : un fibr´ e holomorphe sur une surface de Riemann noncompacte est trivialisable ([Fo,§30]). On peut dans la situation pr´ esente choisir
une trivialisation privil´ egi´ ee, en utilisant le fait que la monodromie est quasiunipotente.
On suppose que T est en fait un op´ erateur unipotent (T − 1)
m = 0, pour
simplifier un peu. Alors N = log(T ) = (T −1)−
1
2 (T −1)
2 +· · ·+(−1)
m−2 1
m−1 (T −
1)
m−1 est d´ efini, et N ∈ g Q , i.e. N est un ´ el´ ement rationnel de l’alg` ebre de Lie
du groupe G C , le groupe des isom´ etries de (H C , Q). Noter que pour tout t ∈ C,
exp(tN ) ∈ G C .
Trivialiser le fibr´ e vectoriel H = H(X/S) sur ∆
∗ revient, suite ` a la description
H = h × H/{σ}
(ici H est muni de la topologie complexe, d’espace vectoriel) ` a trivialiser la classe
{T } dans H
1 (Z, G C ).
Il suffit de constater que
exp((τ + 1) · N ) · exp(τ N )
−1 = T .
En d’autres termes, si θ(τ, α) = (τ, exp(τ N )α) est un “changement de coordonn´ ees” sur h × H, l’action de π 1 (∆
∗ ) devient sur les nouvelles coordonn´ ees :
(θσθ
−1 )(τ, α) = (τ + 1, α).