4. D´ eg´ en´ erescence
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la m´ etrique de Poincar´ e sur ce disque. Introduisons :
Ψ := f
∗ ω h = uη r .
Puisque Ψ reste born´ ee sur chaque disque de rayon r < 1, tandis que η r tend vers
l’infini quand on approche le cercle |z| = r, la fonction u reste born´ ee sur ce disque
et donc prend un maximum ` a l’int´ erieur, disons au point z 0 .
En ce point on a :
0 i∂∂ log u = Ric Ψ − Ric η r .
La courbure gaussienne de η r est ´ egale ` a −1, d’o` u :
Ric Ψ Ric η r = η r
et on obtient l’in´ egalit´ e u(z 0 ) 1. Mais u prend son maximum en z 0 et donc
Ric Ψ η r . Prenant la limite, on obtient bien Ric Ψ η ∆ .
On peut voir le demi-plan comme un cas sp´ ecial d’un domaine de p´ eriodes.
Ici la courbure est −1. Pour un domaine de p´ eriodes quelconque on n’aura pas
en g´ en´ eral que la courbure de la m´ etrique invariante est n´ egative, mais elle
sera n´ egative le long des directions horizontales. Plus pr´ ecis´ ement, la courbure
sectionnelle holomorphe du sous-fibr´ e horizontal T hor (D) est born´ ee par une
constante n´ egative (uniforme)
κ(ξ) −1,
∀x ∈ T hor (D)
(quitte ` a normaliser la m´ etrique). Pour la d´ emonstration originale voir [G-S1].
Soit maintenant une VHS de base ∆
∗ , avec transformation de monodromie T ,
comme indiqu´ e. On rel` eve l’application des p´ eriodes en
˜
Φ : h → D ⊂ ˇ
D.
Rappelons que l’application ˜
Φ est horizontale, alors le lemme de AhlforsSchwarz entraˆ ıne que ˜
Φ est d´ ecroissante au sens des m´ etriques (sur h on met
la m´ etrique hyperbolique de courbure −1)
˜
Φ
∗ (ds
2
D ) ds
2
h
par suite, ˜
Φ est d´ ecroissante pour les distances riemanniennes associ´ ees :
d D ( ˆ
Φ(p), ˜
Φ(q)) d h (p, q) .
Notons que si x, r ∈ R + , d(ir, ir + x) =
x
r . Alors du fait que ˜
Φ(τ + 1) = T ˜
Φ(τ )
d D ( ˜
Φ(in), T ˜
Φ(in))
1
n
.
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la m´ etrique de Poincar´ e sur ce disque. Introduisons :
Ψ := f
∗ ω h = uη r .
Puisque Ψ reste born´ ee sur chaque disque de rayon r < 1, tandis que η r tend vers
l’infini quand on approche le cercle |z| = r, la fonction u reste born´ ee sur ce disque
et donc prend un maximum ` a l’int´ erieur, disons au point z 0 .
En ce point on a :
0 i∂∂ log u = Ric Ψ − Ric η r .
La courbure gaussienne de η r est ´ egale ` a −1, d’o` u :
Ric Ψ Ric η r = η r
et on obtient l’in´ egalit´ e u(z 0 ) 1. Mais u prend son maximum en z 0 et donc
Ric Ψ η r . Prenant la limite, on obtient bien Ric Ψ η ∆ .
On peut voir le demi-plan comme un cas sp´ ecial d’un domaine de p´ eriodes.
Ici la courbure est −1. Pour un domaine de p´ eriodes quelconque on n’aura pas
en g´ en´ eral que la courbure de la m´ etrique invariante est n´ egative, mais elle
sera n´ egative le long des directions horizontales. Plus pr´ ecis´ ement, la courbure
sectionnelle holomorphe du sous-fibr´ e horizontal T hor (D) est born´ ee par une
constante n´ egative (uniforme)
κ(ξ) −1,
∀x ∈ T hor (D)
(quitte ` a normaliser la m´ etrique). Pour la d´ emonstration originale voir [G-S1].
Soit maintenant une VHS de base ∆
∗ , avec transformation de monodromie T ,
comme indiqu´ e. On rel` eve l’application des p´ eriodes en
˜
Φ : h → D ⊂ ˇ
D.
Rappelons que l’application ˜
Φ est horizontale, alors le lemme de AhlforsSchwarz entraˆ ıne que ˜
Φ est d´ ecroissante au sens des m´ etriques (sur h on met
la m´ etrique hyperbolique de courbure −1)
˜
Φ
∗ (ds
2
D ) ds
2
h
par suite, ˜
Φ est d´ ecroissante pour les distances riemanniennes associ´ ees :
d D ( ˆ
Φ(p), ˜
Φ(q)) d h (p, q) .
Notons que si x, r ∈ R + , d(ir, ir + x) =
x
r . Alors du fait que ˜
Φ(τ + 1) = T ˜
Φ(τ )
d D ( ˜
Φ(in), T ˜
Φ(in))
1
n
.