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J. Bertin, Ch. Peters, Partie I. Variations de structures de Hodge
Sur H
w (X, C) il y a donc deux filtrations W • et F
• , il faut ´ etudier comment ces
filtrations cohabitent. Le terme E 1 de la suite spectrale est :
E
−n,w+n
1
=
1i 1 ···i n r
H
w−n (D i 1 ∩ · · · ∩ D i n , C).
Alors la filtration de Hodge induit sur ce terme une structure de Hodge pure de
poids w+n, qui se d´ eduit de celle de poids w−n sur chaque H
w−n (D i 1 ∩· · ·∩D i n , C)
par un d´ ecalage. On prouve alors par une analyse assez d´ elicate, et par r´ ecurrence,
que la diff´ erentielle d r est nulle pour r 2, en particulier
E
p,q
2 = . . . = E
p,q
∞ = Gr
W
p (H
p+q (X, C)).
Il n’est pas difficile alors de conclure que la filtration F
• sur W n /W n−1 =
Gr
W
n (H
w (X, C)) donne une structure de Hodge pure de poids w + n. Alors, si
on d´ ecale la filtration W , on a obtenu que W • [w] et F
• d´ efinissent sur H
w (X) une
structure de Hodge mixte. Le lecteur trouvera dans [Del4] l’explication que W • est
en fait d´ efinie sur Q, et aussi que le r´ esultat est ind´ ependant de la compactification.
Comme exemple regardons le cas d’une hypersurface lisse D ⊂ X et X =
X \ D. En tenant compte du d´ ecalage, la filtration par le poids sur H
w (X, C)
est 0 ⊂ W w ⊂ W w+1 = H
w (X, C). On a W w = Im[H
w (X, C) → H
w (X, C)].
Pour interpr´ eter le quotient W w+1 /W w , consid´ erons la diff´ erentielle d 1 de la suite
spectrale
0 → E
−1,w+1
1
d 1
−−→
E
0,w+1
1
→ 0.
H
w−1 (D)
H
w+1 (X)
La d´ eg´ en´ erescence au terme E 2 est ici un fait clair, on a
E
−1,w+1
2
= ker(d 1 ) = . . . = E
−1,w+1
∞
= W w+1 /W w .
On verra au §7 que la diff´ erentielle d 1 s’interpr` ete aussi en terme de la suite exacte
de Gysin :
· · · H
w (X) → H
w (X) → H
w−1 (D)
∂
− − → H
w+1 (X) → . . .
Ici ∂ = d 1 ´ etant de bidegr´ e (1, 1) la preuve du th´ eor` eme de Deligne est imm´ ediate
dans ce cas.
Particularisons encore plus cet exemple, en supposant que X est une courbe
compl` ete lisse de genre g et que D consiste en n points. La suite exacte de Gysin
ci-dessus montre que W 1 ∼ = H
1 (X) poss` ede une structure de Hodge pure de poids
1 et que W 2 /W 1 ∼ = ker(H
0 (D) → H
2 (X)) est de rang n − 1 avec une structure de
J. Bertin, Ch. Peters, Partie I. Variations de structures de Hodge
Sur H
w (X, C) il y a donc deux filtrations W • et F
• , il faut ´ etudier comment ces
filtrations cohabitent. Le terme E 1 de la suite spectrale est :
E
−n,w+n
1
=
1i 1 ···i n r
H
w−n (D i 1 ∩ · · · ∩ D i n , C).
Alors la filtration de Hodge induit sur ce terme une structure de Hodge pure de
poids w+n, qui se d´ eduit de celle de poids w−n sur chaque H
w−n (D i 1 ∩· · ·∩D i n , C)
par un d´ ecalage. On prouve alors par une analyse assez d´ elicate, et par r´ ecurrence,
que la diff´ erentielle d r est nulle pour r 2, en particulier
E
p,q
2 = . . . = E
p,q
∞ = Gr
W
p (H
p+q (X, C)).
Il n’est pas difficile alors de conclure que la filtration F
• sur W n /W n−1 =
Gr
W
n (H
w (X, C)) donne une structure de Hodge pure de poids w + n. Alors, si
on d´ ecale la filtration W , on a obtenu que W • [w] et F
• d´ efinissent sur H
w (X) une
structure de Hodge mixte. Le lecteur trouvera dans [Del4] l’explication que W • est
en fait d´ efinie sur Q, et aussi que le r´ esultat est ind´ ependant de la compactification.
Comme exemple regardons le cas d’une hypersurface lisse D ⊂ X et X =
X \ D. En tenant compte du d´ ecalage, la filtration par le poids sur H
w (X, C)
est 0 ⊂ W w ⊂ W w+1 = H
w (X, C). On a W w = Im[H
w (X, C) → H
w (X, C)].
Pour interpr´ eter le quotient W w+1 /W w , consid´ erons la diff´ erentielle d 1 de la suite
spectrale
0 → E
−1,w+1
1
d 1
−−→
E
0,w+1
1
→ 0.
H
w−1 (D)
H
w+1 (X)
La d´ eg´ en´ erescence au terme E 2 est ici un fait clair, on a
E
−1,w+1
2
= ker(d 1 ) = . . . = E
−1,w+1
∞
= W w+1 /W w .
On verra au §7 que la diff´ erentielle d 1 s’interpr` ete aussi en terme de la suite exacte
de Gysin :
· · · H
w (X) → H
w (X) → H
w−1 (D)
∂
− − → H
w+1 (X) → . . .
Ici ∂ = d 1 ´ etant de bidegr´ e (1, 1) la preuve du th´ eor` eme de Deligne est imm´ ediate
dans ce cas.
Particularisons encore plus cet exemple, en supposant que X est une courbe
compl` ete lisse de genre g et que D consiste en n points. La suite exacte de Gysin
ci-dessus montre que W 1 ∼ = H
1 (X) poss` ede une structure de Hodge pure de poids
1 et que W 2 /W 1 ∼ = ker(H
0 (D) → H
2 (X)) est de rang n − 1 avec une structure de