4. D´ eg´ en´ erescence
203
Hodge pure de poids 2, limit´ ee au seul terme de type (1, 1), comme pour H
2 (X),
ce qui correspond bien au fait que b 1 (X) = g + n − 1.
La m´ ethode de Deligne donne aussi une structure mixte sur la cohomologie
des vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes admettant des compactifications k¨ ahl´ eriennes. Dans une
autre direction, la cohomologie avec support compact ainsi que l’homologie de
Borel-Moore (d’un sch´ ema s´ epar´ e sur C o` u d’une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne admettant
une compactification k¨ ahl´ erienne) portent aussi des structures de Hodge mixtes.
4.B. Structures limites
Consid´ erons la situation d’une d´ eg´ en´ erescence : f : X → ∆, c’est-` a-dire une
application propre et holomorphe d’une vari´ et´ e complexe X dans le disque ∆ telle
que f soit lisse au dehors de l’origine. Soit
h → ∆
∗ , τ → s = exp(2πiτ )
le revˆ etement universel du disque ´ epoint´ e et soit ˜
X = X × ∆ ∗ h le produit fibr´ e
et k : ˜
X → X l’application naturelle. L’application h : ˜
X → ˜
X, h(x, τ ) =
(x, τ + 1) induit l’op´ eration de monodromie T sur les groupes de cohomologie
H
k (X s ) (s = exp(2πiτ ) et X s = f
−1 (s)). Dans le cas d’une VHS “g´ eom´ etrique”,
H Z = R
k f ∗ (Z) s 0 = H
k (X s 0 , Z)/torsion, T est l’application de Picard-Lefschetz.
Une propri´ et´ e fondamentale de T est la suivante :
4.1 Th´ eor` eme. ([La]) La transformation T est quasi-unipotente, c.` a.d. (T
ℓ − 1l)
est nilpotent pour ℓ ∈ C convenable ; en fait, l’indice de nilpotence est k + 1 :
(T
ℓ − 1l)
k+1 = 0 (Th´ eor` eme de la monodromie locale)
Pour les variations abstraites ce th´ eor` eme a ´ et´ e d´ emontr´ e par Schmid dans [S].
Le th´ eor` eme de monodromie locale sans la borne sur l’indice de nilpotence d´ ecoule
(selon une id´ ee de Borel) des propri´ et´ es de courbure du domaine des p´ eriodes. On
esquisse l’argument donn´ e en [S].
Rappelons la notion de courbure sectionnelle d’une m´ etrique hermitienne h
sur une vari´ et´ e complexe M . Soit F h la courbure (voir [Dem, §1]) de la connexion
m´ etrique sur le fibr´ e tangent holomorphe T (M ). La courbure sectionnelle est la
fonction κ : T (M ) \ {z´ ero-section} → C donn´ ee par
κ(v) =
h (F h (v, v)v, v)
h(v, v) 2
.
4.2 Exemple. Supposons que dim M = 1. Alors F h = ∂∂ log(h), o` u ω =
i
2 h dz ∧ dz est la forme associ´ ee ` a la m´ etrique. On v´ erifie facilement que κ(∂/∂z)
est la courbure gaussienne K h = −h
−1 · ∂
2 /∂z∂z(log h). Ce r´ esultat peut s’´ ecrire
comme suit :
1
i
courbure de h = − courbure gaussienne de la m´ etrique h.
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Hodge pure de poids 2, limit´ ee au seul terme de type (1, 1), comme pour H
2 (X),
ce qui correspond bien au fait que b 1 (X) = g + n − 1.
La m´ ethode de Deligne donne aussi une structure mixte sur la cohomologie
des vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes admettant des compactifications k¨ ahl´ eriennes. Dans une
autre direction, la cohomologie avec support compact ainsi que l’homologie de
Borel-Moore (d’un sch´ ema s´ epar´ e sur C o` u d’une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne admettant
une compactification k¨ ahl´ erienne) portent aussi des structures de Hodge mixtes.
4.B. Structures limites
Consid´ erons la situation d’une d´ eg´ en´ erescence : f : X → ∆, c’est-` a-dire une
application propre et holomorphe d’une vari´ et´ e complexe X dans le disque ∆ telle
que f soit lisse au dehors de l’origine. Soit
h → ∆
∗ , τ → s = exp(2πiτ )
le revˆ etement universel du disque ´ epoint´ e et soit ˜
X = X × ∆ ∗ h le produit fibr´ e
et k : ˜
X → X l’application naturelle. L’application h : ˜
X → ˜
X, h(x, τ ) =
(x, τ + 1) induit l’op´ eration de monodromie T sur les groupes de cohomologie
H
k (X s ) (s = exp(2πiτ ) et X s = f
−1 (s)). Dans le cas d’une VHS “g´ eom´ etrique”,
H Z = R
k f ∗ (Z) s 0 = H
k (X s 0 , Z)/torsion, T est l’application de Picard-Lefschetz.
Une propri´ et´ e fondamentale de T est la suivante :
4.1 Th´ eor` eme. ([La]) La transformation T est quasi-unipotente, c.` a.d. (T
ℓ − 1l)
est nilpotent pour ℓ ∈ C convenable ; en fait, l’indice de nilpotence est k + 1 :
(T
ℓ − 1l)
k+1 = 0 (Th´ eor` eme de la monodromie locale)
Pour les variations abstraites ce th´ eor` eme a ´ et´ e d´ emontr´ e par Schmid dans [S].
Le th´ eor` eme de monodromie locale sans la borne sur l’indice de nilpotence d´ ecoule
(selon une id´ ee de Borel) des propri´ et´ es de courbure du domaine des p´ eriodes. On
esquisse l’argument donn´ e en [S].
Rappelons la notion de courbure sectionnelle d’une m´ etrique hermitienne h
sur une vari´ et´ e complexe M . Soit F h la courbure (voir [Dem, §1]) de la connexion
m´ etrique sur le fibr´ e tangent holomorphe T (M ). La courbure sectionnelle est la
fonction κ : T (M ) \ {z´ ero-section} → C donn´ ee par
κ(v) =
h (F h (v, v)v, v)
h(v, v) 2
.
4.2 Exemple. Supposons que dim M = 1. Alors F h = ∂∂ log(h), o` u ω =
i
2 h dz ∧ dz est la forme associ´ ee ` a la m´ etrique. On v´ erifie facilement que κ(∂/∂z)
est la courbure gaussienne K h = −h
−1 · ∂
2 /∂z∂z(log h). Ce r´ esultat peut s’´ ecrire
comme suit :
1
i
courbure de h = − courbure gaussienne de la m´ etrique h.