4. D´ eg´ en´ erescence
201
` a compactifier X, c’est-` a-dire r´ ealiser X comme le compl´ ementaire X = X \ D
d’un diviseur ` a croisements normaux ([Ill] §7). Une telle compactification existe ;
pour simplifier la discussion, on suppose que D est une r´ eunion de diviseurs
lisses se coupant transversalement. On se place dans le cadre analytique ; les
formes sont donc holomorphes. Le th´ eor` eme de De Rham ordinaire, qui dit que
H
w (X, C) = H
w (X, Ω
•
X ) n’est pas suffisant. Si j : X ֒→ X est l’inclusion, on
observe que H
w (X, C) = H
w (X, j ∗ Ω
•
X ). Soit le sous complexe Ω
•
X
(log D) de
j ∗ Ω
•
X , dont les sections sont les formes m´ eromorphes sur X, holomorphes sur
X, ` a pˆ oles logarithmiques sur D. Rappelons [Ill] qu’une section de Ω
1
X
(log D)
d´ efinie en x ∈ D, est une combinaison lin´ eaire de {
dz 1
z 1
, . . . ,
dz k
z k
, dz k+1 , . . . , dz n }
si (z 1 , . . . , z n ) est un syst` eme de coordonn´ ees locales en x tel que z 1 · . . . · z k = 0
soit une ´ equation locale de D. On pose Ω
p
X
(log D) = ∧
p Ω
1
X
(log D). On v´ erifie que
Ω
•
X
est le plus petit sous-complexe de j ∗ Ω
•
X contenant Ω
•
X
et les diff´ erentielles
logarithmiques
df
f de toute section locale m´ eromorphe le long de D. Le th´ eor` eme
de De Rham logarithmique dit alors que les deux complexes Ω
•
X
(log D) et j ∗ Ω
•
X
sont quasi-isomorphes, donc :
H
w (X, C) = H
w (X, Ω
•
X
(log D).
Le lecteur trouvera dans le §8 une preuve lorsque D est une hypersurface lisse.
Comme dans le §1, la filtration de Hodge F
• conduit ` a la suite spectrale
E
p,q
1 = H
q (X, Ω
p
X
(log D)) =⇒ H
p+q (X, C)
et ` a l’existence d’une filtration de Hodge F
p H
w (X, C) sur l’aboutissement. Notons
que les faisceaux alg´ ebriques coh´ erents Ω
p
X
(log D) peuvent se substituer ` a leurs
analogues analytiques ([Ill] §7).
Le complexe Ω
•
X
(log D) admet une seconde filtration, la filtration par le poids
W • (filtration croissante) ; W m est l’image de l’application produit ext´ erieur :
Ω
m
X
(log D) ⊗ Ω
•
X [−m] −→ Ω
•
X
(log D).
Si on pose W
m = W −m (W
• est une filtration croissante), on peut ainsi consid´ erer
la suite spectrale associ´ ee au complexe filtr´ e (Ω
•
X
(log D), W
• ), soit
E
−n,w+n
1
= H
w (X, Gr
w
n (Ω
•
X
(log D))) =⇒ H
w (X, C).
Supposons que D 1 , . . . , D r sont les composantes de D. Il n’est pas difficile de voir
que l’op´ eration “r´ esidu” de Poincar´ e fournit un isomorphisme (voir §8) :
Gr
W
n (Ω
•
X
(log D)) =
0
si n < 0
Ω
•
X
si n = 0
⊕ 1i 1 ···i n r Ω
•
D i 1 ∩···∩D i n
[−n] si n 1
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` a compactifier X, c’est-` a-dire r´ ealiser X comme le compl´ ementaire X = X \ D
d’un diviseur ` a croisements normaux ([Ill] §7). Une telle compactification existe ;
pour simplifier la discussion, on suppose que D est une r´ eunion de diviseurs
lisses se coupant transversalement. On se place dans le cadre analytique ; les
formes sont donc holomorphes. Le th´ eor` eme de De Rham ordinaire, qui dit que
H
w (X, C) = H
w (X, Ω
•
X ) n’est pas suffisant. Si j : X ֒→ X est l’inclusion, on
observe que H
w (X, C) = H
w (X, j ∗ Ω
•
X ). Soit le sous complexe Ω
•
X
(log D) de
j ∗ Ω
•
X , dont les sections sont les formes m´ eromorphes sur X, holomorphes sur
X, ` a pˆ oles logarithmiques sur D. Rappelons [Ill] qu’une section de Ω
1
X
(log D)
d´ efinie en x ∈ D, est une combinaison lin´ eaire de {
dz 1
z 1
, . . . ,
dz k
z k
, dz k+1 , . . . , dz n }
si (z 1 , . . . , z n ) est un syst` eme de coordonn´ ees locales en x tel que z 1 · . . . · z k = 0
soit une ´ equation locale de D. On pose Ω
p
X
(log D) = ∧
p Ω
1
X
(log D). On v´ erifie que
Ω
•
X
est le plus petit sous-complexe de j ∗ Ω
•
X contenant Ω
•
X
et les diff´ erentielles
logarithmiques
df
f de toute section locale m´ eromorphe le long de D. Le th´ eor` eme
de De Rham logarithmique dit alors que les deux complexes Ω
•
X
(log D) et j ∗ Ω
•
X
sont quasi-isomorphes, donc :
H
w (X, C) = H
w (X, Ω
•
X
(log D).
Le lecteur trouvera dans le §8 une preuve lorsque D est une hypersurface lisse.
Comme dans le §1, la filtration de Hodge F
• conduit ` a la suite spectrale
E
p,q
1 = H
q (X, Ω
p
X
(log D)) =⇒ H
p+q (X, C)
et ` a l’existence d’une filtration de Hodge F
p H
w (X, C) sur l’aboutissement. Notons
que les faisceaux alg´ ebriques coh´ erents Ω
p
X
(log D) peuvent se substituer ` a leurs
analogues analytiques ([Ill] §7).
Le complexe Ω
•
X
(log D) admet une seconde filtration, la filtration par le poids
W • (filtration croissante) ; W m est l’image de l’application produit ext´ erieur :
Ω
m
X
(log D) ⊗ Ω
•
X [−m] −→ Ω
•
X
(log D).
Si on pose W
m = W −m (W
• est une filtration croissante), on peut ainsi consid´ erer
la suite spectrale associ´ ee au complexe filtr´ e (Ω
•
X
(log D), W
• ), soit
E
−n,w+n
1
= H
w (X, Gr
w
n (Ω
•
X
(log D))) =⇒ H
w (X, C).
Supposons que D 1 , . . . , D r sont les composantes de D. Il n’est pas difficile de voir
que l’op´ eration “r´ esidu” de Poincar´ e fournit un isomorphisme (voir §8) :
Gr
W
n (Ω
•
X
(log D)) =
0
si n < 0
Ω
•
X
si n = 0
⊕ 1i 1 ···i n r Ω
•
D i 1 ∩···∩D i n
[−n] si n 1