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J. Bertin, Ch. Peters, Partie I. Variations de structures de Hodge
4.A. Structures de Hodge mixtes
Soit H Q un Q-espace vectoriel de dimension finie muni d’une filtration croissante W •
· · · W k ⊂ W k+1 ⊂ W k+2 · · ·
On suppose qu’il y a une filtration d´ ecroissante F
•
· · · F
k ⊂ F
k−1 ⊂ F
k−2 · · ·
sur H = H Q ⊗ C. On dit que ces deux filtration d´ efinissent une structure de Hodge
mixte si la filtration induite par F
• sur Gr
W
ℓ = W ℓ /W ℓ−1 est une structure de
Hodge pure de poids ℓ. La filtration induite est F
p (Gr
W
ℓ ) = W ℓ ∩ F
p
W ℓ−1 ∩ F
p .
Les nombres de Hodge sont les nombres de Hodge de Gr
W
ℓ . Donc h
p,q = h
q,p
mais en g´ en´ eral il y a des nombres de Hodge non-nuls pour des valeurs de p + q
diff´ erentes.
Si on peut trouver une bigraduation H = ⊕H
p,q telle que W ℓ ⊗ R =
r+sℓ H
r,s et F
p =
rp H
r,s on dit que la structure mixte est scind´ ee. Deligne
a trouv´ e (voir [C-K-S1]) un scindement canonique :
I
a,b = F
p ∩ W a+b ∩ (( ¯
F
b ∩ W a+b ) + G
b−1
a+b−2 ),
o` u G
p
q :=
j0
F
p−j ∩ W q−j
et donc
W ℓ =
a+bℓ
I
a,b ,
F
p =
ap
I
a,b .
Attention : bien que h
a,b = dim H
a,b en g´ en´ eral on n’a pas I
b,a = I
a,b , si c’est le
cas on dit que le scindement est d´ efini sur R. On peut toujours “d´ eformer” une
structure mixte sur R (dans la d´ efinition de structure mixte on part d’un R-espace
vectoriel) en une structure scind´ ee sur R. Dans ce cas I
a,b = F
a ∩ ¯
F
b ∩ W a+b .
Dans l’expos´ e [Dem] il et prouv´ e que le groupe de cohomologie H
w (X, Z) d’une
vari´ et´ e compacte k¨ ahl´ erienne X porte une structure de Hodge pure de poids w.
En particulier cela s’applique aux vari´ et´ es complexes projectives non-singuli` eres.
Lorsque X est quasi projective, ´ eventuellement singuli` ere, en fait pour tout
sch´ ema de type fini sur C, Deligne a prouv´ e [Del 4], [Del5], que H
w (X, Z) porte
une structure de Hodge mixte qui d´ epend fonctoriellement de X. Les nombres de
Hodge de cette structure ne peuvent ˆ etre non nuls que pour 0 p, q w, en fait
w − n p, q n si w n = dim X. Si X est lisse il n’y a que des poids w
(h
p,q = 0 si p + q < w), par contre pour X propre il n’y a que des poids w.
Naturellement si X est projective lisse, la structure de Hodge mixte sur H
w (X, Z)
se r´ eduit ` a la structure pure classique de poids w.
Pour rendre cr´ edible la d´ efinition ci-dessus d’une structure de Hodge mixte,
expliquons bri` evement comment lorsque X est un C-sch´ ema lisse quasi projectif
une telle structure ´ emerge (voir [Del4] pour les d´ etails). La premi` ere ´ etape consiste
J. Bertin, Ch. Peters, Partie I. Variations de structures de Hodge
4.A. Structures de Hodge mixtes
Soit H Q un Q-espace vectoriel de dimension finie muni d’une filtration croissante W •
· · · W k ⊂ W k+1 ⊂ W k+2 · · ·
On suppose qu’il y a une filtration d´ ecroissante F
•
· · · F
k ⊂ F
k−1 ⊂ F
k−2 · · ·
sur H = H Q ⊗ C. On dit que ces deux filtration d´ efinissent une structure de Hodge
mixte si la filtration induite par F
• sur Gr
W
ℓ = W ℓ /W ℓ−1 est une structure de
Hodge pure de poids ℓ. La filtration induite est F
p (Gr
W
ℓ ) = W ℓ ∩ F
p
W ℓ−1 ∩ F
p .
Les nombres de Hodge sont les nombres de Hodge de Gr
W
ℓ . Donc h
p,q = h
q,p
mais en g´ en´ eral il y a des nombres de Hodge non-nuls pour des valeurs de p + q
diff´ erentes.
Si on peut trouver une bigraduation H = ⊕H
p,q telle que W ℓ ⊗ R =
r+sℓ H
r,s et F
p =
rp H
r,s on dit que la structure mixte est scind´ ee. Deligne
a trouv´ e (voir [C-K-S1]) un scindement canonique :
I
a,b = F
p ∩ W a+b ∩ (( ¯
F
b ∩ W a+b ) + G
b−1
a+b−2 ),
o` u G
p
q :=
j0
F
p−j ∩ W q−j
et donc
W ℓ =
a+bℓ
I
a,b ,
F
p =
ap
I
a,b .
Attention : bien que h
a,b = dim H
a,b en g´ en´ eral on n’a pas I
b,a = I
a,b , si c’est le
cas on dit que le scindement est d´ efini sur R. On peut toujours “d´ eformer” une
structure mixte sur R (dans la d´ efinition de structure mixte on part d’un R-espace
vectoriel) en une structure scind´ ee sur R. Dans ce cas I
a,b = F
a ∩ ¯
F
b ∩ W a+b .
Dans l’expos´ e [Dem] il et prouv´ e que le groupe de cohomologie H
w (X, Z) d’une
vari´ et´ e compacte k¨ ahl´ erienne X porte une structure de Hodge pure de poids w.
En particulier cela s’applique aux vari´ et´ es complexes projectives non-singuli` eres.
Lorsque X est quasi projective, ´ eventuellement singuli` ere, en fait pour tout
sch´ ema de type fini sur C, Deligne a prouv´ e [Del 4], [Del5], que H
w (X, Z) porte
une structure de Hodge mixte qui d´ epend fonctoriellement de X. Les nombres de
Hodge de cette structure ne peuvent ˆ etre non nuls que pour 0 p, q w, en fait
w − n p, q n si w n = dim X. Si X est lisse il n’y a que des poids w
(h
p,q = 0 si p + q < w), par contre pour X propre il n’y a que des poids w.
Naturellement si X est projective lisse, la structure de Hodge mixte sur H
w (X, Z)
se r´ eduit ` a la structure pure classique de poids w.
Pour rendre cr´ edible la d´ efinition ci-dessus d’une structure de Hodge mixte,
expliquons bri` evement comment lorsque X est un C-sch´ ema lisse quasi projectif
une telle structure ´ emerge (voir [Del4] pour les d´ etails). La premi` ere ´ etape consiste