4. D´ eg´ en´ erescence
199
avec les propri´ et´ es suivantes (3.7) :
(1) Pour tout vecteur tangent t en o, δ(t) ∈ g = Lie(G C ).
(2) Si t 1 , t 2 ∈ T S,o , les endomorphismes δ(t 1 ) et δ(t 2 ) commutent.
3.9. D´ efinition. Soit une structure de Hodge (r´ eelle) sur H. Une donn´ ee (d’alg` ebre
lin´ eaire) (T, H, δ, Q)
δ : T −→ g
−1,1
qui satisfait ` a (1) et (2) est appel´ ee par Griffiths et Harris [C-G-G-H], une variation
infinit´ esimale de structures de Hodge (IVHS).
Dans une IVHS g´ eom´ etrique, l’application lin´ eaire induite par
δ(t) : H
p,q → H
p−1,q+1
est le cup-produit avec l’image de t par l’application de Kodaira-Spencer T S,o →
H
1 (X 0 , T X 0 ) (cf. §2B et §2C).
Au d´ epart d’une IVHS, on peut effectuer des op´ erations d’alg` ebre lin´ eaire.
Par exemple, si t 1 , . . . , t k ∈ T S,o = T , on peut composer les applications
δ(t 1 ), . . . , δ(t k ), ce qui donne une application
H
k,0 δ(t 1 )
−→ H
k−1,1 δ(t 2 )
−→ H
k−2,2 −→ · · ·
δ(t k )
−→ H
0,k .
Notons δ(t 1 , . . . , t k ) ∈ Hom(H
k,0 , H
0,k ) le r´ esultat. Rappelons que H
0,k et H
k,0
sont en dualit´ e par la forme Q. Alors les propri´ et´ es (1) et (2) conduisent ais´ ement
aux r´ esultats suivants :
(i) δ(t 1 , . . . , t k ) est une forme bilin´ eaire sym´ etrique sur H
k,0
(ii) δ(t 1 , . . . , t k ) est sym´ etrique en les arguments t 1 , . . . , t k .
D’o` u une application lin´ eaire :
(iter)
δ : Sym
k (T ) −→ Hom Sym (H
k,0 , H
0,k ) ∼ = Sym
2 (H
k,0 )
qui, comme on peut s’y attendre, contient des informations significatives sur X 0 .
4. D´ eg´ en´ erescence
Dans ce paragraphe on introduit la notion de structure de Hodge mixte. Ensuite on regarde
les familles de base un disque ´ epoint´ e, d´ eduites d’une morphisme propre de base le disque, en
omettant la fibre au dessus de l’origine. On appelle une telle situation d´ eg´ en´ erescence, car la
fibre au dessus de l’origine peut ˆ etre singuli` ere. Dans cette situation, tourner une fois autour de
l’origine induit sur la cohomologie l’application de Picard-Lefschetz ou de monodromie locale. La
quasi-unipotence de cette application est une propri´ et´ e fondamentale qui est discut´ ee bri` evement
dans le §4.B. Finalement, dans le §4.C on d´ efinit les cycles proches et ´ evanescents, notions
indispensables pour comprendre les d´ eveloppements r´ ecents sur la monodromie locale.
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avec les propri´ et´ es suivantes (3.7) :
(1) Pour tout vecteur tangent t en o, δ(t) ∈ g = Lie(G C ).
(2) Si t 1 , t 2 ∈ T S,o , les endomorphismes δ(t 1 ) et δ(t 2 ) commutent.
3.9. D´ efinition. Soit une structure de Hodge (r´ eelle) sur H. Une donn´ ee (d’alg` ebre
lin´ eaire) (T, H, δ, Q)
δ : T −→ g
−1,1
qui satisfait ` a (1) et (2) est appel´ ee par Griffiths et Harris [C-G-G-H], une variation
infinit´ esimale de structures de Hodge (IVHS).
Dans une IVHS g´ eom´ etrique, l’application lin´ eaire induite par
δ(t) : H
p,q → H
p−1,q+1
est le cup-produit avec l’image de t par l’application de Kodaira-Spencer T S,o →
H
1 (X 0 , T X 0 ) (cf. §2B et §2C).
Au d´ epart d’une IVHS, on peut effectuer des op´ erations d’alg` ebre lin´ eaire.
Par exemple, si t 1 , . . . , t k ∈ T S,o = T , on peut composer les applications
δ(t 1 ), . . . , δ(t k ), ce qui donne une application
H
k,0 δ(t 1 )
−→ H
k−1,1 δ(t 2 )
−→ H
k−2,2 −→ · · ·
δ(t k )
−→ H
0,k .
Notons δ(t 1 , . . . , t k ) ∈ Hom(H
k,0 , H
0,k ) le r´ esultat. Rappelons que H
0,k et H
k,0
sont en dualit´ e par la forme Q. Alors les propri´ et´ es (1) et (2) conduisent ais´ ement
aux r´ esultats suivants :
(i) δ(t 1 , . . . , t k ) est une forme bilin´ eaire sym´ etrique sur H
k,0
(ii) δ(t 1 , . . . , t k ) est sym´ etrique en les arguments t 1 , . . . , t k .
D’o` u une application lin´ eaire :
(iter)
δ : Sym
k (T ) −→ Hom Sym (H
k,0 , H
0,k ) ∼ = Sym
2 (H
k,0 )
qui, comme on peut s’y attendre, contient des informations significatives sur X 0 .
4. D´ eg´ en´ erescence
Dans ce paragraphe on introduit la notion de structure de Hodge mixte. Ensuite on regarde
les familles de base un disque ´ epoint´ e, d´ eduites d’une morphisme propre de base le disque, en
omettant la fibre au dessus de l’origine. On appelle une telle situation d´ eg´ en´ erescence, car la
fibre au dessus de l’origine peut ˆ etre singuli` ere. Dans cette situation, tourner une fois autour de
l’origine induit sur la cohomologie l’application de Picard-Lefschetz ou de monodromie locale. La
quasi-unipotence de cette application est une propri´ et´ e fondamentale qui est discut´ ee bri` evement
dans le §4.B. Finalement, dans le §4.C on d´ efinit les cycles proches et ´ evanescents, notions
indispensables pour comprendre les d´ eveloppements r´ ecents sur la monodromie locale.