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J. Bertin, Ch. Peters, Partie I. Variations de structures de Hodge
telle d´ eformation f : X → S est compl` ete si toute autre d´ eformation g : Y → T
de X o se d´ eduit de f : X → S par un changement de base (au niveau des germes)
Y
q
−→ X
g
f
T
p
−→ S
o` u p : (T, o) → (S, o), et le carr´ e ci-dessus est cart´ esien. Si le morphisme p est
unique, X/S est appel´ e universelle. En g´ en´ eral ce n’est pas le cas, mais souvent sa
diff´ erentielle dp(o) est unique et dans ce cas la d´ eformation X/S est dite verselle.
Par exemple, si X/S est compl` ete, pour obtenir une d´ eformation verselle, on peut
restreindre la famille ` a une sous-vari´ et´ e convenable qui passe par o. Attention :
une d´ eformation peut tr` es bien ˆ etre (uni)verselle en o ∈ S mais pas en d’autres
points de S.
Kodaira et Spencer ont montr´ e [K-S2] que f est compl` ete si et seulement si
l’application de Kodaira-Spencer est une surjection.
3.8. Cons´ equence. f : X → S est verselle en o si et seulement si l’application
de Kodaira-Spencer
ρ : T S,o → H
1 (T X o )
est un isomorphisme (dim S est alors consid´ er´ e comme le nombre de param` etres
pour la structure complexe).
Bien qu’amelior´ e par Kuranishi, le r´ esultat de Kodaira suffit pour beaucoup
d’exemples, notamment pour les hypersurfaces dans l’espace projectif, comme
dans l’exemple suivant. Le r´ esultat de Kuranishi dit qu’il y a toujours une famille
verselle, pourvu qu’on accepte comme base S un espace analytique (il est essentiel
d’accepter des ´ el´ ements nilpotents dans le faisceau structural de S). Dans ce cadre
une famille f : X → S est une application holomorphe et propre telle que, quitte
` a restreindre S, localement X est un produit U i × S et f |U i → S coincide avec la
projection sur le second facteur. Voir [Ku] pour les d´ etails.
3.9. Exemple. Si f : X → S est la famille tautologique des hypersurfaces de degr´ e
d dans P
n+1 , l’application de Kodaira-Spencer est une surjection si n 2 ou n = 2
et d = 4. Pour obtenir une d´ eformation verselle il faut restreindre cette famille ` a
un petit disque transversal ` a une orbite par PGL(n + 1, C) d’une hypersurface
fix´ ee. Pour les d´ etails voir [K-S §14(C)].
Retournons ` a la diff´ erentielle de l’application des p´ eriodes, pour une famille
f : X → S verselle. On fixe o ∈ S, on regarde la fibre X o au dessus du point o et
la diff´ erentielle δ = dΦ(o) en o. C’est une application lin´ eaire
δ : T S,o −→ g
−1,1 ⊂
p
Hom(H
p,q , H
p−1,q+1 )
J. Bertin, Ch. Peters, Partie I. Variations de structures de Hodge
telle d´ eformation f : X → S est compl` ete si toute autre d´ eformation g : Y → T
de X o se d´ eduit de f : X → S par un changement de base (au niveau des germes)
Y
q
−→ X
g
f
T
p
−→ S
o` u p : (T, o) → (S, o), et le carr´ e ci-dessus est cart´ esien. Si le morphisme p est
unique, X/S est appel´ e universelle. En g´ en´ eral ce n’est pas le cas, mais souvent sa
diff´ erentielle dp(o) est unique et dans ce cas la d´ eformation X/S est dite verselle.
Par exemple, si X/S est compl` ete, pour obtenir une d´ eformation verselle, on peut
restreindre la famille ` a une sous-vari´ et´ e convenable qui passe par o. Attention :
une d´ eformation peut tr` es bien ˆ etre (uni)verselle en o ∈ S mais pas en d’autres
points de S.
Kodaira et Spencer ont montr´ e [K-S2] que f est compl` ete si et seulement si
l’application de Kodaira-Spencer est une surjection.
3.8. Cons´ equence. f : X → S est verselle en o si et seulement si l’application
de Kodaira-Spencer
ρ : T S,o → H
1 (T X o )
est un isomorphisme (dim S est alors consid´ er´ e comme le nombre de param` etres
pour la structure complexe).
Bien qu’amelior´ e par Kuranishi, le r´ esultat de Kodaira suffit pour beaucoup
d’exemples, notamment pour les hypersurfaces dans l’espace projectif, comme
dans l’exemple suivant. Le r´ esultat de Kuranishi dit qu’il y a toujours une famille
verselle, pourvu qu’on accepte comme base S un espace analytique (il est essentiel
d’accepter des ´ el´ ements nilpotents dans le faisceau structural de S). Dans ce cadre
une famille f : X → S est une application holomorphe et propre telle que, quitte
` a restreindre S, localement X est un produit U i × S et f |U i → S coincide avec la
projection sur le second facteur. Voir [Ku] pour les d´ etails.
3.9. Exemple. Si f : X → S est la famille tautologique des hypersurfaces de degr´ e
d dans P
n+1 , l’application de Kodaira-Spencer est une surjection si n 2 ou n = 2
et d = 4. Pour obtenir une d´ eformation verselle il faut restreindre cette famille ` a
un petit disque transversal ` a une orbite par PGL(n + 1, C) d’une hypersurface
fix´ ee. Pour les d´ etails voir [K-S §14(C)].
Retournons ` a la diff´ erentielle de l’application des p´ eriodes, pour une famille
f : X → S verselle. On fixe o ∈ S, on regarde la fibre X o au dessus du point o et
la diff´ erentielle δ = dΦ(o) en o. C’est une application lin´ eaire
δ : T S,o −→ g
−1,1 ⊂
p
Hom(H
p,q , H
p−1,q+1 )