3. Variations de structures de Hodge
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Pour utilisation ult´ erieure, indiquons la propri´ et´ e suivante, cons´ equence de la
nullit´ e de la courbure de ∇.
3.7. Proposition. Si ∂ 1 , ∂ 2 ∈ T S,s , ξ i = dΦ s (∂ i ) ∈ g
−1,1 , alors [ξ 1 , ξ 2 ] = 0 (crochet
dans g).
Preuve. Rappelons la formule (plat) du paragraphe 2. Elle implique qu’il suffit
de montrer que [∂ 1 , ∂ 2 ] = 0 vu comme endomorphisme de H
p,q
0 . Donc on peut
supposer ξ 1 = ∂/∂s α , ξ 2 = ∂/∂s β .
Posons c
α
ji = c ji , ∂/∂s α , alors c
α
ji (0) = ∂A ji /∂s α
0
. Il suffit de montrer que
∂c
α
ji /∂s β − ∂c
β
ji /∂s β s’annule en 0 pour f p+1 < i, j f p .
On a vu que
c
α
ji =
k
A
−1
jk
∂A ki
∂s α
= 0
si i f p , j > f p+1 .
En d´ erivant par rapport ` a s β , puis en ´ evaluant en 0, on obtient pour i, j dans
l’intervalle ]f p+1 , f p ] :
∂
2 A ji
∂s β ∂s α
(0) =
k
∂A jk
∂s α
(0)
∂A ki
∂s β
(0)
=
k
∂A jk
∂s β
(0)
∂A ki
∂s α
(0)
qui donne le r´ esultat.
3.C. D´ eformations et IVHS (variations infinit´ esimales de structures de
Hodge)
La question la plus naturelle ` a ce stade est de savoir si la variation de structure
complexe est d´ etermin´ ee par sa variation de structure de Hodge (probl` eme de
Torelli). Il est clair que cela est faux en g´ en´ eral : prendre la famille produit.
Donc il faut se restreindre aux familles pour lesquelles la structure complexe varie
vraiment au moins infinit´ esimalement. La variation infinit´ esimale ´ etant mesur´ ee
par l’application de Kodaira-Spencer, on ne regarde que des familles ayant la
propri´ et´ e que l’application de Kodaira-Spencer est partout injective. Ce sont les
familles effectives. La variation de structure de Hodge au niveau infinit´ esimal est
d´ ecrite par la d´ eriv´ ee de l’application des p´ eriodes. Ainsi une version infinit´ esimale
du probl` eme de Torelli est de savoir si cette d´ eriv´ ee est injective pour des familles
effectives. Voir [P-S] pour ce cercle d’id´ ees.
Compl` etons la discussion en pr´ ecisant ce qu’on entend par une d´ eformation
universelle ou verselle. Ici on fixe une vari´ et´ e X o , on travaille avec des familles sur
une base point´ ee (S, o), consid´ er´ ee comme germe, telle que la fibre au dessus de o
est la vari´ et´ e fix´ ee X o . Ces types de familles sont appel´ es d´ eformations de X o . Une
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Pour utilisation ult´ erieure, indiquons la propri´ et´ e suivante, cons´ equence de la
nullit´ e de la courbure de ∇.
3.7. Proposition. Si ∂ 1 , ∂ 2 ∈ T S,s , ξ i = dΦ s (∂ i ) ∈ g
−1,1 , alors [ξ 1 , ξ 2 ] = 0 (crochet
dans g).
Preuve. Rappelons la formule (plat) du paragraphe 2. Elle implique qu’il suffit
de montrer que [∂ 1 , ∂ 2 ] = 0 vu comme endomorphisme de H
p,q
0 . Donc on peut
supposer ξ 1 = ∂/∂s α , ξ 2 = ∂/∂s β .
Posons c
α
ji = c ji , ∂/∂s α , alors c
α
ji (0) = ∂A ji /∂s α
0
. Il suffit de montrer que
∂c
α
ji /∂s β − ∂c
β
ji /∂s β s’annule en 0 pour f p+1 < i, j f p .
On a vu que
c
α
ji =
k
A
−1
jk
∂A ki
∂s α
= 0
si i f p , j > f p+1 .
En d´ erivant par rapport ` a s β , puis en ´ evaluant en 0, on obtient pour i, j dans
l’intervalle ]f p+1 , f p ] :
∂
2 A ji
∂s β ∂s α
(0) =
k
∂A jk
∂s α
(0)
∂A ki
∂s β
(0)
=
k
∂A jk
∂s β
(0)
∂A ki
∂s α
(0)
qui donne le r´ esultat.
3.C. D´ eformations et IVHS (variations infinit´ esimales de structures de
Hodge)
La question la plus naturelle ` a ce stade est de savoir si la variation de structure
complexe est d´ etermin´ ee par sa variation de structure de Hodge (probl` eme de
Torelli). Il est clair que cela est faux en g´ en´ eral : prendre la famille produit.
Donc il faut se restreindre aux familles pour lesquelles la structure complexe varie
vraiment au moins infinit´ esimalement. La variation infinit´ esimale ´ etant mesur´ ee
par l’application de Kodaira-Spencer, on ne regarde que des familles ayant la
propri´ et´ e que l’application de Kodaira-Spencer est partout injective. Ce sont les
familles effectives. La variation de structure de Hodge au niveau infinit´ esimal est
d´ ecrite par la d´ eriv´ ee de l’application des p´ eriodes. Ainsi une version infinit´ esimale
du probl` eme de Torelli est de savoir si cette d´ eriv´ ee est injective pour des familles
effectives. Voir [P-S] pour ce cercle d’id´ ees.
Compl` etons la discussion en pr´ ecisant ce qu’on entend par une d´ eformation
universelle ou verselle. Ici on fixe une vari´ et´ e X o , on travaille avec des familles sur
une base point´ ee (S, o), consid´ er´ ee comme germe, telle que la fibre au dessus de o
est la vari´ et´ e fix´ ee X o . Ces types de familles sont appel´ es d´ eformations de X o . Une