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J. Bertin, Ch. Peters, Partie I. Variations de structures de Hodge
Q). Alors ˇ
D est la grassmanienne lagrangienne de (H, Q), et ˇ
D = Sp(2g, C)/B si
dim H = 2g. On v´ erifie classiquement que D = Sp(2g, R)/U (g, C) s’identifie au
demi-espace de Siegel {τ ∈ M g (C),
t τ = τ et Im τ > 0}.
Soit une VHS : {H Z , F
p , ∇, Q} ; cette donn´ ee ne conduit pas directement ` a un
morphisme S → D, du fait que H Z est seulement localement constant. Par contre,
localement sur un ouvert U de S, on peut trivialiser le fibr´ e vectoriel H Z ⊗ O S , au
moyen de sections plates (de H Z ), alors la filtration induite par les F
p donne lieu
` a un morphisme (holomorphe)
Φ : U → D ⊂ ˇ
D.
Globalement, on peut transporter la VHS au revˆ etement universel
S de S, et le
choix d’une trivialisation du syst` eme local H Z sur
S, conduit ` a un morphisme
˜
Φ :
S → D ⊂ ˇ
D.
Il est imm´ ediat de voir que le groupe de monodromie (global) Γ agit proprement discontinˆ ument sur D, alors on obtient le morphisme des p´ eriodes, en passant
au quotient par Γ :
Φ : S −→ Γ\D.
L’observation importante sur ˜
Φ (ou tout rel` evement local) est la propri´ et´ e d’horizontalit´ e, traduction de la condition de transversalit´ e de Griffiths sur ∇. Pour tout
s ∈ S,
(Trans)
dΦ s (T s,0 ) ⊆ T hor,Φ(s) (D).
Pour rendre cette propri´ et´ e claire, d´ etaillons-la sur un voisinage de s 0 ∈ S. On
trivialise le fibr´ e vectoriel H Z ⊗ O S au moyen de sections plates {τ i }. On peut
supposer que H
p,q
0
(= H
p,q (s 0 )) a pour base (τ i ) f p+1
0 a pour base
{τ i } if p . On peut trouver une trivialisation locale {e i (s)} de H Z ⊗ O S par des
sections telles que e i (s 0 ) = τ i , et localement, (e 1 , . . . , e f p ) est une base de F
p . Soit
e i =
A ji τ j la matrice de changement de rep` eres (pour abr´ eger on ´ ecrit s 0 = 0).
Les τ i ´ etant plates, ∇e i =
dA ji τ j =
k
c ki e k , avec c = A
−1 dA. L’hypoth` ese de
transversalit´ e implique c ji = 0 pour i f p , j > f p+1 . L’application lin´ eaire ξ α
associ´ ee ` a dΦ s 0 (∂/∂s α ) est telle que pour i f p :
ξ α (τ i ) =
∂e i
∂s α
(0) (mod F
p
0 )
=
f p+1
∂s α
(0)τ j .
Comme
∂A ji (0)
∂s α
=
c ji (0),
∂
∂s α
,
on a bien (Trans).
J. Bertin, Ch. Peters, Partie I. Variations de structures de Hodge
Q). Alors ˇ
D est la grassmanienne lagrangienne de (H, Q), et ˇ
D = Sp(2g, C)/B si
dim H = 2g. On v´ erifie classiquement que D = Sp(2g, R)/U (g, C) s’identifie au
demi-espace de Siegel {τ ∈ M g (C),
t τ = τ et Im τ > 0}.
Soit une VHS : {H Z , F
p , ∇, Q} ; cette donn´ ee ne conduit pas directement ` a un
morphisme S → D, du fait que H Z est seulement localement constant. Par contre,
localement sur un ouvert U de S, on peut trivialiser le fibr´ e vectoriel H Z ⊗ O S , au
moyen de sections plates (de H Z ), alors la filtration induite par les F
p donne lieu
` a un morphisme (holomorphe)
Φ : U → D ⊂ ˇ
D.
Globalement, on peut transporter la VHS au revˆ etement universel
S de S, et le
choix d’une trivialisation du syst` eme local H Z sur
S, conduit ` a un morphisme
˜
Φ :
S → D ⊂ ˇ
D.
Il est imm´ ediat de voir que le groupe de monodromie (global) Γ agit proprement discontinˆ ument sur D, alors on obtient le morphisme des p´ eriodes, en passant
au quotient par Γ :
Φ : S −→ Γ\D.
L’observation importante sur ˜
Φ (ou tout rel` evement local) est la propri´ et´ e d’horizontalit´ e, traduction de la condition de transversalit´ e de Griffiths sur ∇. Pour tout
s ∈ S,
(Trans)
dΦ s (T s,0 ) ⊆ T hor,Φ(s) (D).
Pour rendre cette propri´ et´ e claire, d´ etaillons-la sur un voisinage de s 0 ∈ S. On
trivialise le fibr´ e vectoriel H Z ⊗ O S au moyen de sections plates {τ i }. On peut
supposer que H
p,q
0
(= H
p,q (s 0 )) a pour base (τ i ) f p+1
0 a pour base
{τ i } if p . On peut trouver une trivialisation locale {e i (s)} de H Z ⊗ O S par des
sections telles que e i (s 0 ) = τ i , et localement, (e 1 , . . . , e f p ) est une base de F
p . Soit
e i =
A ji τ j la matrice de changement de rep` eres (pour abr´ eger on ´ ecrit s 0 = 0).
Les τ i ´ etant plates, ∇e i =
dA ji τ j =
k
c ki e k , avec c = A
−1 dA. L’hypoth` ese de
transversalit´ e implique c ji = 0 pour i f p , j > f p+1 . L’application lin´ eaire ξ α
associ´ ee ` a dΦ s 0 (∂/∂s α ) est telle que pour i f p :
ξ α (τ i ) =
∂e i
∂s α
(0) (mod F
p
0 )
=
f p+1
∂s α
(0)τ j .
Comme
∂A ji (0)
∂s α
=
c ji (0),
∂
∂s α
,
on a bien (Trans).