3. Variations de structures de Hodge
195
Rappelons que si F ⊂ H est un sous-espace de dimension d, l’espace tangent
de Gr(d, H) en [F ] s’identifie canoniquement ` a Hom(F, H/F ). ` a partir de l` a,
un vecteur tangent ` a ˇ
D en F
• = {F
p }, peut-ˆ etre identifi´ e ` a une collection
d’applications lin´ eaires
ξ p : F
p −→ H/F
p
avec les compatibilit´ es suivantes :
F
p
ξ p
− −−− → H/F
p
F
p+1
ξ p+1
− −−− → H/F
p+1
∪
est commutatif et
Q(ξ p (α), β) + Q(α, ξ k−p+1 (β)) = 0
(α ∈ F p , β ∈ F k−p+1 )
[version infinit´ esimale de la premi` ere relation bilin´ eaire].
Rappelons qu’on a choisi un point de base {H
p,q
0 } ∈ D. Soit
g = Lie(G C ) =
X ∈ End(H), Q(X(α), β) + Q(α, X(β)) = 0
.
Il y a une structure de Hodge de poids 0 sur g, avec
g
r,s =
X ∈ g, X(H
p,q ) ⊆ H
p+q,q+s
.
Alors b = Lie(B) =
r0 g
r,−r , et le fibr´ e tangent T ˇ
D est le fibr´ e homog` ene
G C × B g/b, B agissant par la repr´ esentation adjointe.
Soit g 0 = Lie(G R ), alors v = Lie(V ) = g 0 ∩ g
0,0 . Noter que g 0 /v ∼ = g/b, qui
correspond au fait que l’ouvert D ⊂ ˇ
D est une orbite de G R .
3.5. D´ efinition ([Grif1]). Le sous-fibr´ e G C × B g
−1,1 /b de T ˇ
D est appel´ e le sousfibr´ e horizontal (notation T hor ( ˇ
D)). Un vecteur tangent ξ = {ξ p }, est horizontal si
ξ p (F
p ) ⊆ F
p−1 /F
p .
Si on veut d´ ecrire le fibr´ e universel F
p ⊂ H ⊗ O ˇ
D , en termes de fibr´ es associ´ es
` a des fibr´ es principaux, on note que le fibr´ e trivial H ⊗ O ˇ
D (de fibre H, base ˇ
D)
est le fibr´ e G C × B H, et F
p = G C × B F
p
0 (par d´ efinition B est le stabilisateur de
la filtration {F
p
0 }.
3.6. Exemple (Demi-espace de Siegel). On suppose k = 1 (poids 1). La filtration
de Hodge se r´ eduit ` a H = F
0 ⊃ F
1 ⊃ 0, avec (F
1 )
⊥ = F
1 (pour la forme altern´ ee
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Rappelons que si F ⊂ H est un sous-espace de dimension d, l’espace tangent
de Gr(d, H) en [F ] s’identifie canoniquement ` a Hom(F, H/F ). ` a partir de l` a,
un vecteur tangent ` a ˇ
D en F
• = {F
p }, peut-ˆ etre identifi´ e ` a une collection
d’applications lin´ eaires
ξ p : F
p −→ H/F
p
avec les compatibilit´ es suivantes :
F
p
ξ p
− −−− → H/F
p
F
p+1
ξ p+1
− −−− → H/F
p+1
∪
est commutatif et
Q(ξ p (α), β) + Q(α, ξ k−p+1 (β)) = 0
(α ∈ F p , β ∈ F k−p+1 )
[version infinit´ esimale de la premi` ere relation bilin´ eaire].
Rappelons qu’on a choisi un point de base {H
p,q
0 } ∈ D. Soit
g = Lie(G C ) =
X ∈ End(H), Q(X(α), β) + Q(α, X(β)) = 0
.
Il y a une structure de Hodge de poids 0 sur g, avec
g
r,s =
X ∈ g, X(H
p,q ) ⊆ H
p+q,q+s
.
Alors b = Lie(B) =
r0 g
r,−r , et le fibr´ e tangent T ˇ
D est le fibr´ e homog` ene
G C × B g/b, B agissant par la repr´ esentation adjointe.
Soit g 0 = Lie(G R ), alors v = Lie(V ) = g 0 ∩ g
0,0 . Noter que g 0 /v ∼ = g/b, qui
correspond au fait que l’ouvert D ⊂ ˇ
D est une orbite de G R .
3.5. D´ efinition ([Grif1]). Le sous-fibr´ e G C × B g
−1,1 /b de T ˇ
D est appel´ e le sousfibr´ e horizontal (notation T hor ( ˇ
D)). Un vecteur tangent ξ = {ξ p }, est horizontal si
ξ p (F
p ) ⊆ F
p−1 /F
p .
Si on veut d´ ecrire le fibr´ e universel F
p ⊂ H ⊗ O ˇ
D , en termes de fibr´ es associ´ es
` a des fibr´ es principaux, on note que le fibr´ e trivial H ⊗ O ˇ
D (de fibre H, base ˇ
D)
est le fibr´ e G C × B H, et F
p = G C × B F
p
0 (par d´ efinition B est le stabilisateur de
la filtration {F
p
0 }.
3.6. Exemple (Demi-espace de Siegel). On suppose k = 1 (poids 1). La filtration
de Hodge se r´ eduit ` a H = F
0 ⊃ F
1 ⊃ 0, avec (F
1 )
⊥ = F
1 (pour la forme altern´ ee