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J. Bertin, Ch. Peters, Partie I. Variations de structures de Hodge
3.B. Domaine des p´ eriodes de Griffiths
Il est naturel de vouloir d´ ecrire “l’ensemble des structures de Hodge” sur
H R = H Z ⊗ R, polaris´ ees par la forme Q sur H Z , avec des nombres de Hodge
h
p,q fix´ es. On fixe donc H Z ∼ = Z
n un groupe ab´ elien, Q une forme (altern´ ee ou
sym´ etrique selon la parit´ e de k, le poids) enti` ere et non d´ eg´ en´ er´ ee sur H Z . Les
nombres de Hodge h
p,q (= h
q,p ), avec
p+q=k
h
p,q = n, sont fix´ es ; noter qu’alors
dim F
p =
ip,i+j=k
h
i,j est fix´ e (= f
p ). On note Gr(k, H C ) la vari´ et´ e des sousespaces de dimension k de H C . Rappelons les relations bilin´ eaires de Riemann :
1) Le Q-orthogonal de F
p (dans H C ) est F
k−p+1 et
2) Si C est l’op´ erateur de Weil tel que C(ξ) =
√
−1
p−q ξ pour ξ ∈ H
p,q , on a
Q(Cξ, ¯
ξ) > 0 si 0 = ξ.
3.3. Notations. On note
ˇ
D =
filtrations F
• = {F
p } p=0, ... ,h de H = H C ,
telles que dim F
p = f
p , et pour tout p, Q(F
p , F
k−p+1 ) = 0
.
(Alors F
k−p+1 est le Q-orthogonal de F
p ).
On appelle D le sous-ensemble de ˇ
D form´ e des structures de Hodge, c’est-` a-dire
avec la condition 2 ci-dessus.
On note G R le groupe orthogonal de (H R , Q) et G C le complexifi´ e, G C = O(H C , Q).
3.4. Proposition.
1) ˇ
D est une sous-vari´ et´ e non singuli` ere de
p
Gr(f
p , H), qui est en fait un espace
homog` ene du groupe de Lie complexe G C .
ˇ
D = G C /B,
(B sous-groupe parabolique)
2) D est un ouvert de ˇ
D, qui est une orbite du groupe de Lie r´ eel G R :
D = G R /B
(V = G R ∩ B).
Preuve. La preuve n’est pas tr` es difficile, c’est un exercice d’alg` ebre lin´ eaire
(th´ eor` eme de Witt par exemple). On note que D acquiert une structure de
vari´ et´ e analytique complexe (ouvert de ˇ
D). Il est souvent commode de fixer une
structure de Hodge initiale, {H
p,q
0 }, et alors d’identifier ˇ
D avec G C /B, o` u B est le
stabilisateur de {F
p
0 }, et V le stabilisateur de {H
p,q
0 } dans G R .
Il est important de d´ ecrire le fibr´ e tangent ` a ˇ
D, ainsi que les sous-fibr´ es
universels F
p du fibr´ e trivial H ⊗ O ˇ
D , comme fibr´ es vectoriels homog` enes sur
ces espaces homog` enes.
J. Bertin, Ch. Peters, Partie I. Variations de structures de Hodge
3.B. Domaine des p´ eriodes de Griffiths
Il est naturel de vouloir d´ ecrire “l’ensemble des structures de Hodge” sur
H R = H Z ⊗ R, polaris´ ees par la forme Q sur H Z , avec des nombres de Hodge
h
p,q fix´ es. On fixe donc H Z ∼ = Z
n un groupe ab´ elien, Q une forme (altern´ ee ou
sym´ etrique selon la parit´ e de k, le poids) enti` ere et non d´ eg´ en´ er´ ee sur H Z . Les
nombres de Hodge h
p,q (= h
q,p ), avec
p+q=k
h
p,q = n, sont fix´ es ; noter qu’alors
dim F
p =
ip,i+j=k
h
i,j est fix´ e (= f
p ). On note Gr(k, H C ) la vari´ et´ e des sousespaces de dimension k de H C . Rappelons les relations bilin´ eaires de Riemann :
1) Le Q-orthogonal de F
p (dans H C ) est F
k−p+1 et
2) Si C est l’op´ erateur de Weil tel que C(ξ) =
√
−1
p−q ξ pour ξ ∈ H
p,q , on a
Q(Cξ, ¯
ξ) > 0 si 0 = ξ.
3.3. Notations. On note
ˇ
D =
filtrations F
• = {F
p } p=0, ... ,h de H = H C ,
telles que dim F
p = f
p , et pour tout p, Q(F
p , F
k−p+1 ) = 0
.
(Alors F
k−p+1 est le Q-orthogonal de F
p ).
On appelle D le sous-ensemble de ˇ
D form´ e des structures de Hodge, c’est-` a-dire
avec la condition 2 ci-dessus.
On note G R le groupe orthogonal de (H R , Q) et G C le complexifi´ e, G C = O(H C , Q).
3.4. Proposition.
1) ˇ
D est une sous-vari´ et´ e non singuli` ere de
p
Gr(f
p , H), qui est en fait un espace
homog` ene du groupe de Lie complexe G C .
ˇ
D = G C /B,
(B sous-groupe parabolique)
2) D est un ouvert de ˇ
D, qui est une orbite du groupe de Lie r´ eel G R :
D = G R /B
(V = G R ∩ B).
Preuve. La preuve n’est pas tr` es difficile, c’est un exercice d’alg` ebre lin´ eaire
(th´ eor` eme de Witt par exemple). On note que D acquiert une structure de
vari´ et´ e analytique complexe (ouvert de ˇ
D). Il est souvent commode de fixer une
structure de Hodge initiale, {H
p,q
0 }, et alors d’identifier ˇ
D avec G C /B, o` u B est le
stabilisateur de {F
p
0 }, et V le stabilisateur de {H
p,q
0 } dans G R .
Il est important de d´ ecrire le fibr´ e tangent ` a ˇ
D, ainsi que les sous-fibr´ es
universels F
p du fibr´ e trivial H ⊗ O ˇ
D , comme fibr´ es vectoriels homog` enes sur
ces espaces homog` enes.