3. Variations de structures de Hodge
193
La fibre en s ∈ S de H
k
prim est Prim
k (X s , C).
On r´ esume toutes ces donn´ ees, par la d´ efinition suivante, d’une variation de
structures de Hodge (polaris´ ees) (“VHS” en abr´ eg´ e).
La d´ efinition suivante a ´ et´ e formul´ ee par Griffiths ([Grif1]).
3.1. D´ efinition. Une famille de structures de Hodge (r´ eelles) de poids k, sur S,
est la donn´ ee de
1) Un faisceau localement constant d’espaces vectoriels r´ eels H R sur S ;
2) Une filtration finie {F
p } du fibr´ e vectoriel H := H R ⊗ O S (F
p est un sous-fibr´ e
holomorphe) ;
avec les conditions :
(VHS-1) La connexion naturelle ∇ = 1⊗d S sur H est telle que ∇F
p ⊆ Ω
1
S ⊗F
p−1
(VHS-2) En tout point s ∈ S, {F
p
s } d´ efinit sur H R ) s une structure de Hodge
(r´ eelle) de poids k.
Une polarisation est la donn´ ee, en sus, d’un faisceau localement constant H Z ⊆ H R ,
de Z-modules libres de rang fini, avec H R ≡ H Z ⊗ R, et une forme bilin´ eaire
localement constante non d´ eg´ en´ er´ ee
Q : H Z ⊗ H Z −→ Z
qui induit en tout s ∈ S une polarisation de (H R ) s .
Nous ne consid´ erons que des structures de Hodge polaris´ ees.
3.2. D´ efinition. Soit {H Z , {F
p }, ∇, Q} une variation de structures de Hodge polaris´ ees sur S. Le groupe de monodromie du faisceau localement constant H Z est
appel´ e le groupe de monodromie de la variation (VHS).
Pour d´ efinir ce groupe, on fixe s 0 ∈ S et on consid` ere selon la prescription de
§2.A la repr´ esentation de monodromie
T : π 1 (S, s 0 ) −→ Aut Z ((H Z ) s 0 ).
Du fait que la forme Q est (localement) constante, l’image de T (i.e. le groupe de
monodromie) est incluse dans le groupe orthogonal G Z := Aut Z ((H Z ) s 0 , Q).
Rappelons que le faisceau localement constant H Z s’obtient par :
H Z =
S × H Z /π 1 (S, s 0 )
(H Z = (H Z ) s 0 )
o` u π 1 (S, s 0 ) agit par γ(t, α) = (tγ, T (γ)
−1 α). La repr´ esentation de monodromie
d´ ecrit comment une section locale de H Z se d´ eforme par prolongement analytique
le long d’un lacet. Comme on suppose S connexe, toutes les fibres de H Z sont
isomorphes ` a H Z = (H Z ) s 0 mais non canoniquement.
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La fibre en s ∈ S de H
k
prim est Prim
k (X s , C).
On r´ esume toutes ces donn´ ees, par la d´ efinition suivante, d’une variation de
structures de Hodge (polaris´ ees) (“VHS” en abr´ eg´ e).
La d´ efinition suivante a ´ et´ e formul´ ee par Griffiths ([Grif1]).
3.1. D´ efinition. Une famille de structures de Hodge (r´ eelles) de poids k, sur S,
est la donn´ ee de
1) Un faisceau localement constant d’espaces vectoriels r´ eels H R sur S ;
2) Une filtration finie {F
p } du fibr´ e vectoriel H := H R ⊗ O S (F
p est un sous-fibr´ e
holomorphe) ;
avec les conditions :
(VHS-1) La connexion naturelle ∇ = 1⊗d S sur H est telle que ∇F
p ⊆ Ω
1
S ⊗F
p−1
(VHS-2) En tout point s ∈ S, {F
p
s } d´ efinit sur H R ) s une structure de Hodge
(r´ eelle) de poids k.
Une polarisation est la donn´ ee, en sus, d’un faisceau localement constant H Z ⊆ H R ,
de Z-modules libres de rang fini, avec H R ≡ H Z ⊗ R, et une forme bilin´ eaire
localement constante non d´ eg´ en´ er´ ee
Q : H Z ⊗ H Z −→ Z
qui induit en tout s ∈ S une polarisation de (H R ) s .
Nous ne consid´ erons que des structures de Hodge polaris´ ees.
3.2. D´ efinition. Soit {H Z , {F
p }, ∇, Q} une variation de structures de Hodge polaris´ ees sur S. Le groupe de monodromie du faisceau localement constant H Z est
appel´ e le groupe de monodromie de la variation (VHS).
Pour d´ efinir ce groupe, on fixe s 0 ∈ S et on consid` ere selon la prescription de
§2.A la repr´ esentation de monodromie
T : π 1 (S, s 0 ) −→ Aut Z ((H Z ) s 0 ).
Du fait que la forme Q est (localement) constante, l’image de T (i.e. le groupe de
monodromie) est incluse dans le groupe orthogonal G Z := Aut Z ((H Z ) s 0 , Q).
Rappelons que le faisceau localement constant H Z s’obtient par :
H Z =
S × H Z /π 1 (S, s 0 )
(H Z = (H Z ) s 0 )
o` u π 1 (S, s 0 ) agit par γ(t, α) = (tγ, T (γ)
−1 α). La repr´ esentation de monodromie
d´ ecrit comment une section locale de H Z se d´ eforme par prolongement analytique
le long d’un lacet. Comme on suppose S connexe, toutes les fibres de H Z sont
isomorphes ` a H Z = (H Z ) s 0 mais non canoniquement.