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J. Bertin, Ch. Peters, Partie I. Variations de structures de Hodge
On exige les deux conditions (R1) et (R2) de Riemann ; en particulier :
α, α = Q(Cα, ¯
α) > 0
(α = 0)
avec C = op´ erateur de Weil.
Un isomorphisme de structures de Hodge polaris´ ee est un isomorphisme qui
pr´ eserve les polarisations, i.e. les structures enti` eres, et les formes bilin´ eaires.
Soit maintenant f : X → S une famille de vari´ et´ es alg´ ebriques projectives
lisses ; on suppose X ⊂ P
N × S et f est la restriction ` a X de la projection sur S.
Soit X s = f
−1 (s) = X ∩P
N
C ×{s}. Comme il est expliqu´ e dans [Dem], X s porte sur
chaque H
k (X s , C) une structure de Hodge r´ eelle, et Prim
k (X s , C) poss` ede en plus
une polarisation d´ efinie par la forme ω s ∈ H
1,1 (X s , Z), d´ eduite du plongement
X s ⊂ P
N .
Ces structures de Hodge r´ eelles (resp. polaris´ ees) d´ efinissent une famille (ou
variation) de structures de Hodge. On a en effet les objets suivants :
1) Un syst` eme local de groupes ab´ eliens libres de rang fini (constant),
H
k
Z = R
k f ∗ (Z)/(torsion),
(idem avec H
k
R , H
k
C ).
2) Un fibr´ e vectoriel (O S module localement libre) H
k = R
k f ∗ (Ω
•
X/S ) (Ω
•
X/S =
formes alg´ ebriques, ou holomorphes).
3) Une filtration d´ ecroissante de H
k par des sous-fibr´ es holomorphes {F
p } p=0, ... ,k
(filtration de Hodge) (si on passe ` a la fibre en s ∈ S, H
k
s = H
k (X s , C) et F
p
s
est exactement la filtration de Hodge sur H
k (X s , C)). On a F
p ∩ F
q+1 = 0,
(p + q = k).
Soit ω ∈ H
0 (S, R
2 f ∗ (Z)) l’image de la classe de la section hyperplane relative
(section localement constante). La section ω induit en chaque s ∈ S, ω s ∈
H
2 (X s , Z) qui est la forme enti` ere (1, 1) qui polarise X s . On a ainsi :
4) Une forme bilin´ eaire non d´ eg´ en´ er´ ee localement constante, dite “forme de
Hodge-Riemann”, Q : H
k
Z ⊗ H
k
Z −→ H
2n
Z = Z.
5) Une connexion (int´ egrable) ∇ : H
k → Ω
1
S ⊗H
k : la connexion de Gauss-Manin,
telle que le syst` eme local des sections horizontales est H
k
C .
6) Propri´ et´ e de transversalit´ e de Griffiths
∇(F
p ) ⊆ Ω
1
S ⊗ F
p−1 .
7) L’op´ erateur L de Lefschetz admet une forme globale : L est le cup-produit
avec ω. Noter que L est un op´ erateur horizontal ; on d´ efinit H
k
prim comme le
noyau de
L
n−k+1 : H
k −→ H
2n−k+2 .
J. Bertin, Ch. Peters, Partie I. Variations de structures de Hodge
On exige les deux conditions (R1) et (R2) de Riemann ; en particulier :
α, α = Q(Cα, ¯
α) > 0
(α = 0)
avec C = op´ erateur de Weil.
Un isomorphisme de structures de Hodge polaris´ ee est un isomorphisme qui
pr´ eserve les polarisations, i.e. les structures enti` eres, et les formes bilin´ eaires.
Soit maintenant f : X → S une famille de vari´ et´ es alg´ ebriques projectives
lisses ; on suppose X ⊂ P
N × S et f est la restriction ` a X de la projection sur S.
Soit X s = f
−1 (s) = X ∩P
N
C ×{s}. Comme il est expliqu´ e dans [Dem], X s porte sur
chaque H
k (X s , C) une structure de Hodge r´ eelle, et Prim
k (X s , C) poss` ede en plus
une polarisation d´ efinie par la forme ω s ∈ H
1,1 (X s , Z), d´ eduite du plongement
X s ⊂ P
N .
Ces structures de Hodge r´ eelles (resp. polaris´ ees) d´ efinissent une famille (ou
variation) de structures de Hodge. On a en effet les objets suivants :
1) Un syst` eme local de groupes ab´ eliens libres de rang fini (constant),
H
k
Z = R
k f ∗ (Z)/(torsion),
(idem avec H
k
R , H
k
C ).
2) Un fibr´ e vectoriel (O S module localement libre) H
k = R
k f ∗ (Ω
•
X/S ) (Ω
•
X/S =
formes alg´ ebriques, ou holomorphes).
3) Une filtration d´ ecroissante de H
k par des sous-fibr´ es holomorphes {F
p } p=0, ... ,k
(filtration de Hodge) (si on passe ` a la fibre en s ∈ S, H
k
s = H
k (X s , C) et F
p
s
est exactement la filtration de Hodge sur H
k (X s , C)). On a F
p ∩ F
q+1 = 0,
(p + q = k).
Soit ω ∈ H
0 (S, R
2 f ∗ (Z)) l’image de la classe de la section hyperplane relative
(section localement constante). La section ω induit en chaque s ∈ S, ω s ∈
H
2 (X s , Z) qui est la forme enti` ere (1, 1) qui polarise X s . On a ainsi :
4) Une forme bilin´ eaire non d´ eg´ en´ er´ ee localement constante, dite “forme de
Hodge-Riemann”, Q : H
k
Z ⊗ H
k
Z −→ H
2n
Z = Z.
5) Une connexion (int´ egrable) ∇ : H
k → Ω
1
S ⊗H
k : la connexion de Gauss-Manin,
telle que le syst` eme local des sections horizontales est H
k
C .
6) Propri´ et´ e de transversalit´ e de Griffiths
∇(F
p ) ⊆ Ω
1
S ⊗ F
p−1 .
7) L’op´ erateur L de Lefschetz admet une forme globale : L est le cup-produit
avec ω. Noter que L est un op´ erateur horizontal ; on d´ efinit H
k
prim comme le
noyau de
L
n−k+1 : H
k −→ H
2n−k+2 .