3. Variations de structures de Hodge
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On peut interpr´ eter une structure de Hodge comme une repr´ esentation r´ eelle du
groupe alg´ ebrique r´ eel :
Res C/R (C
∗ ) = Spec R
x, y, (x
2 + y
2 )
−1
(Restriction de Weil du groupe alg´ ebrique C
∗ de C ` a R). Cela explique que l’on
puisse effectuer des op´ erations de dualit´ e et ⊗ sur les structures de Hodge.
Dans le cas g´ eom´ etrique, c’est-` a-dire quand X est de K¨ ahler, rappelons qu’il
y a sur H C = H
k (X, C), une forme bilin´ eaire de parit´ e (−1)
k : la forme de HodgeRiemann ([Dem])
Q(α, β) = (−1)
k(k−1)/2
X
α ∧ β ∧ ω
n−k
(dim X = n)
(Q est sym´ etrique si k est pair, altern´ ee si k est impair). Lorsque la forme (1, 1)
r´ eelle ω est enti` ere, donc si X est alg´ ebrique projective, et ω provient de la classe
d’une section hyperplane, Q est alors enti` ere sur le r´ eseau H
k (X, Z)/(torsion).
Rappelons les relations bilin´ eaires de Hodge-Riemann :
(R1)
Q(H
p,q , H
p
′ ,q
′ ) = 0
sauf si (p
′ , q
′ ) = (q, p).
Il est ´ equivalent de dire que le Q-orthogonal de F
p est F
k−p+1 . En effet, F
p =
ip H
i,j , F
k−p+1 =
ik−p+1 H
i,j , ainsi si i p, on a j = k − i k − p, d’o` u
Q(F
ℓ , F
k−p+1 ) = 0. Mais
dim F
p =
ip
h
i,j =
ip
h
j,i =
jk−p
h
j,i = codim(F
k−p+1 ) .
Donc F
k−p+1 = (F
p )
⊥ .
(R2)
Si 0 = ξ ∈ Prim
p,q ,
√
−1
p−q Q(ξ, ξ) > 0 .
Si on introduit l’op´ erateur de Weil, qui est l’op´ erateur r´ eel C ∈ Aut C (H C ), tel que
C
H p,q =
√
−1
p−q , la forme α, β := Q(Cα, ¯
β) est une forme hermitienne appel´ ee
forme de Hodge. La forme de Hodge est d´ efinie positive sur la partie primitive
Prim
k (X, C) de H
k (X, C).
Une structure de Hodge (pure) de poids k polaris´ ee est la donn´ ee d’une
structure de Hodge r´ eelle de poids k : (H R , H R ⊗ C = ⊕H
p,q , H
p,q = H
q,p ) et
d’une polarisation ; la polarisation est la donn´ ee d’un r´ eseau H Z ⊂ H R , puis une
forme bilin´ eaire non d´ eg´ en´ er´ ee de parit´ e (−1)
k sur H R , qui est enti` ere sur le r´ eseau
(mais pas forc´ ement unimodulaire) :
Q(H Z × H Z ) ⊆ Z.
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On peut interpr´ eter une structure de Hodge comme une repr´ esentation r´ eelle du
groupe alg´ ebrique r´ eel :
Res C/R (C
∗ ) = Spec R
x, y, (x
2 + y
2 )
−1
(Restriction de Weil du groupe alg´ ebrique C
∗ de C ` a R). Cela explique que l’on
puisse effectuer des op´ erations de dualit´ e et ⊗ sur les structures de Hodge.
Dans le cas g´ eom´ etrique, c’est-` a-dire quand X est de K¨ ahler, rappelons qu’il
y a sur H C = H
k (X, C), une forme bilin´ eaire de parit´ e (−1)
k : la forme de HodgeRiemann ([Dem])
Q(α, β) = (−1)
k(k−1)/2
X
α ∧ β ∧ ω
n−k
(dim X = n)
(Q est sym´ etrique si k est pair, altern´ ee si k est impair). Lorsque la forme (1, 1)
r´ eelle ω est enti` ere, donc si X est alg´ ebrique projective, et ω provient de la classe
d’une section hyperplane, Q est alors enti` ere sur le r´ eseau H
k (X, Z)/(torsion).
Rappelons les relations bilin´ eaires de Hodge-Riemann :
(R1)
Q(H
p,q , H
p
′ ,q
′ ) = 0
sauf si (p
′ , q
′ ) = (q, p).
Il est ´ equivalent de dire que le Q-orthogonal de F
p est F
k−p+1 . En effet, F
p =
ip H
i,j , F
k−p+1 =
ik−p+1 H
i,j , ainsi si i p, on a j = k − i k − p, d’o` u
Q(F
ℓ , F
k−p+1 ) = 0. Mais
dim F
p =
ip
h
i,j =
ip
h
j,i =
jk−p
h
j,i = codim(F
k−p+1 ) .
Donc F
k−p+1 = (F
p )
⊥ .
(R2)
Si 0 = ξ ∈ Prim
p,q ,
√
−1
p−q Q(ξ, ξ) > 0 .
Si on introduit l’op´ erateur de Weil, qui est l’op´ erateur r´ eel C ∈ Aut C (H C ), tel que
C
H p,q =
√
−1
p−q , la forme α, β := Q(Cα, ¯
β) est une forme hermitienne appel´ ee
forme de Hodge. La forme de Hodge est d´ efinie positive sur la partie primitive
Prim
k (X, C) de H
k (X, C).
Une structure de Hodge (pure) de poids k polaris´ ee est la donn´ ee d’une
structure de Hodge r´ eelle de poids k : (H R , H R ⊗ C = ⊕H
p,q , H
p,q = H
q,p ) et
d’une polarisation ; la polarisation est la donn´ ee d’un r´ eseau H Z ⊂ H R , puis une
forme bilin´ eaire non d´ eg´ en´ er´ ee de parit´ e (−1)
k sur H R , qui est enti` ere sur le r´ eseau
(mais pas forc´ ement unimodulaire) :
Q(H Z × H Z ) ⊆ Z.