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J. Bertin, Ch. Peters, Partie I. Variations de structures de Hodge
On peut alors d´ efinir la d´ eriv´ ee partielle
∂
∂s i
au moyen de la formule (α ∈
Γ(U, O X ))
dα =
n
i=1
∂α
∂s i
ds i .
La relation d
2 = 0 entraˆ ıne
∂
2
∂s i ∂s j
=
∂
2
∂s j ∂s i
(∀(i, j)). Soit maintenant f : X → Y
un morphisme ´ etale. Alors le morphisme canonique df : f
∗ (Ω
1
Y /k ) → Ω
1
X/k est un
isomorphisme. Ainsi si s 1 , . . . , s n sont des coordonn´ ees uniformisantes sur V ⊂ Y ,
t 1 = f
∗ (s 1 ), . . . , t n = f
∗ (s n ) est un syst` eme de coordonn´ ees uniformisantes sur
U = f
−1 (V ). On a par construction :
∂
∂t i
(f
∗ (α)) = f
∗
∂α
∂s i
(α ∈ Γ(V, O Y )) .
Si maintenant U est un ouvert du sch´ ema X, et U est ´ etale sur A
n × S, supposons
que s 1 , . . . , s n sont les coordonn´ ees naturelles sur A
n . La restriction ` a U de ces
n + m coordonn´ ees d´ efinit un syst` eme de coordonn´ ees locales sur U .
3. Variations de structures de Hodge
Dans ce paragraphe nous introduisons les notions de variation de structures de Hodge, de
domaine de p´ eriodes et de variation infinit´ esimale de structures de Hodge.
3.A. Introduction aux variations de structures de Hodge
Soit X ⊂ P
N
C une vari´ et´ e projective lisse de dimension n, il y a sur H R =
H
k (X, R) la structure suivante, appel´ ee structure de Hodge r´ eelle de poids k.
1) Une d´ ecomposition (de Hodge)
H C := H R ⊗ R C =
p+q=k
H
p,q
avec H
p,q = H
q,p .
2) Une filtration de Hodge F
p =
ip H
i,j , telle que H
p,q = F
p ∩F
q , (p+q = k)
et H C = F
p ⊕ F
q+1 .
(1 et 2 sont ´ equivalentes).
Si H et H
′ sont des espaces vectoriels r´ eels qui portent une structure de
Hodge (r´ eelle) de poids k, resp. k
′ , alors il est ais´ e de voir que sur H
∗ , H ⊗ H
′ et
Hom(H, H
′ ) il y a une structure de Hodge naturelle de poids −k, k + k
′ et k
′ − k.
En particulier Hom(H, H) a une structure de Hodge de poids 0, et
Hom(H, H)
(a,b) =
λ : H → H, λ(H
p,q ) ⊆ H
p+a,q+b
.