2. Connexion de Gauss-Manin
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2.5. Th´ eor` eme. Relativement ` a la filtration de Hodge F
• H
k (X/S), la connexion
de Gauss-Manin satisfait ` a la propri´ et´ e de transversalit´ e de Griffiths :
∇(F
i H
k ) ⊆ Ω
1
S ⊗ F
i−1 (H
k ) .
Si la suite spectrale de Hodge vers De Rham d´ eg´ en` ere (par exemple si k = C),
l’application O S -lin´ eaire induite sur le gradu´ e associ´ e, par la d´ erivation ∇, co¨ ıncide
avec le cup-produit avec la classe de Kodaira-Spencer.
2.6. Notes.
1) Toute l’´ etude faite dans les §1 et §2, admet une transcription quasi-imm´ ediate
dans le cadre logarithmique. On suppose que D ⊂ X est un diviseur qui est
une r´ eunion de diviseurs lisses relativement ` a la base S, et de sorte que D est
` a croisements normaux relativement ` a S. Dans ce contexte, on peut d´ efinir (voir
[Ill] §7) le complexe Ω
•
X/S (log D) des formes diff´ erentielles r´ eguli` eres sur X − D,
` a pˆ oles logarithmiques le long de D. Pour le cas le plus simple d’une hypersurface
lisse voir le §8 et pour le cas g´ en´ eral voir [Ka]. On obtient une suite spectrale de
Hodge-vers-De Rham :
E
pq
1 = R
q f ∗ (Ω
p
X/S (log D)) =⇒ R
p+q f ∗ (Ω
•
X/S (log D))
et la connexion de Gauss-Manin
∇ : R
q f ∗ (Ω
•
X/S (log D)) −→ Ω
1
S ⊗ O S R
q f ∗ (Ω
•
X/S (log D))
qui satisfait ` a la propri´ et´ e de transversalit´ e de Griffiths, relativement ` a la filtration
de Hodge F
• , du moins si on suppose que la suite spectrale ci-dessus d´ eg´ en` ere au
terme E 1 (k = C). Le lecteur consultera le travail fondamental de N. Katz [Ka]
pour les d´ etails.
2) Dans un travail r´ ecent [H-S], Hinich et Schechtman ont introduit une application
de Kodaira-Spencer d’ordre sup´ erieur, qui s’applique ` a des op´ erateurs diff´ erentiels
et plus seulement ` a des d´ erivations.
Appendice : “Coordonn´ ees locales” en g´ eom´ etrie alg´ ebrique.
Pour lever tout doute sur les calculs locaux du §2, rappelons comment on
travaille avec des coordonn´ ees locales en g´ eom´ etrie alg´ ebrique.
Soit X/k un sch´ ema de type fini, lisse sur le corps k. Alors le O X -module
Ω
1
X/h est localement libre de rang fini n = dim X ; au voisinage de tout point
x ∈ X, on peut trouver des sections r´ eguli` eres s 1 , . . . , s n ∈ Γ(U, O X ) telles que
{ds 1 , . . . , ds n } soit une base de Ω
1
X/h sur U .
2.7. D´ efinition. On appelle s 1 , . . . , s n un syst` eme de coordonn´ ees uniformisantes
(ou param` etres locaux) sur U .
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2.5. Th´ eor` eme. Relativement ` a la filtration de Hodge F
• H
k (X/S), la connexion
de Gauss-Manin satisfait ` a la propri´ et´ e de transversalit´ e de Griffiths :
∇(F
i H
k ) ⊆ Ω
1
S ⊗ F
i−1 (H
k ) .
Si la suite spectrale de Hodge vers De Rham d´ eg´ en` ere (par exemple si k = C),
l’application O S -lin´ eaire induite sur le gradu´ e associ´ e, par la d´ erivation ∇, co¨ ıncide
avec le cup-produit avec la classe de Kodaira-Spencer.
2.6. Notes.
1) Toute l’´ etude faite dans les §1 et §2, admet une transcription quasi-imm´ ediate
dans le cadre logarithmique. On suppose que D ⊂ X est un diviseur qui est
une r´ eunion de diviseurs lisses relativement ` a la base S, et de sorte que D est
` a croisements normaux relativement ` a S. Dans ce contexte, on peut d´ efinir (voir
[Ill] §7) le complexe Ω
•
X/S (log D) des formes diff´ erentielles r´ eguli` eres sur X − D,
` a pˆ oles logarithmiques le long de D. Pour le cas le plus simple d’une hypersurface
lisse voir le §8 et pour le cas g´ en´ eral voir [Ka]. On obtient une suite spectrale de
Hodge-vers-De Rham :
E
pq
1 = R
q f ∗ (Ω
p
X/S (log D)) =⇒ R
p+q f ∗ (Ω
•
X/S (log D))
et la connexion de Gauss-Manin
∇ : R
q f ∗ (Ω
•
X/S (log D)) −→ Ω
1
S ⊗ O S R
q f ∗ (Ω
•
X/S (log D))
qui satisfait ` a la propri´ et´ e de transversalit´ e de Griffiths, relativement ` a la filtration
de Hodge F
• , du moins si on suppose que la suite spectrale ci-dessus d´ eg´ en` ere au
terme E 1 (k = C). Le lecteur consultera le travail fondamental de N. Katz [Ka]
pour les d´ etails.
2) Dans un travail r´ ecent [H-S], Hinich et Schechtman ont introduit une application
de Kodaira-Spencer d’ordre sup´ erieur, qui s’applique ` a des op´ erateurs diff´ erentiels
et plus seulement ` a des d´ erivations.
Appendice : “Coordonn´ ees locales” en g´ eom´ etrie alg´ ebrique.
Pour lever tout doute sur les calculs locaux du §2, rappelons comment on
travaille avec des coordonn´ ees locales en g´ eom´ etrie alg´ ebrique.
Soit X/k un sch´ ema de type fini, lisse sur le corps k. Alors le O X -module
Ω
1
X/h est localement libre de rang fini n = dim X ; au voisinage de tout point
x ∈ X, on peut trouver des sections r´ eguli` eres s 1 , . . . , s n ∈ Γ(U, O X ) telles que
{ds 1 , . . . , ds n } soit une base de Ω
1
X/h sur U .
2.7. D´ efinition. On appelle s 1 , . . . , s n un syst` eme de coordonn´ ees uniformisantes
(ou param` etres locaux) sur U .