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J. Bertin, Ch. Peters, Partie I. Variations de structures de Hodge
2.D. Propri´ et´ e de transversalit´ e de ∇
Pour tout complexe Ω
• , la filtration de Hodge de Ω
• est la filtration na¨ ıve
Ω
• ; on a relativement au d´ ecalage :
(Ω
• [n])
p = (Ω
•p+n )[n].
Consid´ erons la suite exacte de complexes (cf. (2))
0
−→
Gr
1
−→
F
0 /F
2 −→ Gr
0
−→ 0
f
∗ (Ω
1
S ) ⊗ O X Ω
•
X/S [−1]
Ω
•
X/S
−→ 0
passons au cran i de la filtration de Hodge, on a la suite exacte
0 −→ f
∗ (Ω
1
S ) ⊗ Ω
•i−1
X/S [−1] −→ (F
0 /F
2 )
i −→ Ω
•i
X/S −→ 0
et en passant ` a la cohomologie, on obtient un diagramme commutatif :
R
k f ∗ (Ω
•
X/S )
∂
−→
R
k+1 f ∗ (Gr
1 [1]) = Ω
1
S ⊗ O S R
k f ∗ (Ω
•
X/S )


R
k f ∗ (Ω
•i
X/S )
∂
−→ R
k+1 f ∗ (Gr
1 [1]
i ) = R
k+1 f ∗ (f
∗ (Ω
1
S ) ⊗ (Ω
•i−1
X/S [−1])
Ω
1
S ⊗ O S R
k f ∗ (Ω
•i−1
X/S )
.
Les images des fl` eches verticales du diagramme sont respectivement F
i H
k (X/S)
et Ω
1
S ⊗ F
i−1 H
k (X/S), et de plus ∂ = ∇, donc on a la propri´ et´ e de transversalit´ e
pour la connexion de Gauss-Manin.
∇(F
i H
k (X/S)) ⊆ Ω
1
S ⊗ F
i−1 H
k (X/S) .
Supposons que la suite spectrale de Hodge vers De Rham d´ eg´ en` ere (par ex. k = C),
alors E
pq
1 = R
q f ∗ (Ω
p
X/S ) = F
p H
p+q (X/S)/F
p+1 H
p+q (X/S).
De plus, il est clair que par passage du gradu´ e associ´ e ` a la filtration de Hodge
sur H
k (X/S), ∇ induit une application O S -lin´ eaire.
∇ : R
q f ∗ (Ω
p
X/S ) −→ Ω
1
S ⊗ R
q+1 f ∗ (Ω
p−1
X/S ) .
Alors ∇ est le cup-produit avec l’application de Kodaira-Spencer
ρ X/S ∈ H
0 (S, Ω
1
S ⊗ R
1 f ∗ (T X/S )).
D’o` u finalement :