2. Connexion de Gauss-Manin
187
Il suffit alors de v´ erifier que
(−1)
p+1 (ϕ i 0 − ϕ i 1 )(ω) ≡ (−1)
p I
i 0 ϕ i 1 (ω) (mod F
2 )
pour toute forme ω ∈ Γ(U i 0 ∩ U i 1 , Ω X/S ). Si on pose ϕ i 1 (ω) = α, cette congruence
´ equivaut ` a ϕ i 0 (π(α)) − α ≡ −I i 0 (α) (mod F
2 ), qui d´ ecoule alors du lemme 2.
L’int´ egrabilit´ e de la connexion de Gauss-Manin d´ ecoule imm´ ediatement de la
formule du lemme 4. En effet, on en d´ eduit
∇((d X + δ)ϕ − ϕ(d X/S + δ)) ≡ ∇
2 ◦ ϕ (mod ˇ
C
• (F
3 ))
car ∇ est de degr´ e 1 pour la filtration de Koszul et comme ∇ et d X +δ commutent,
(d X + δ)(∇ ◦ ϕ) − (∇ ◦ ϕ)(d X/S + δ) ≡ ∇
2 ◦ ϕ(mod F
3 ).
Donc ∇
2 induit le morphisme nul (au sens des cat´ egories d´ eriv´ ees) de Gr
0 dans
Gr
2 [2].
Avant de conclure, il est utile de souligner le point suivant. Ce qui a ´ et´ e
construit dans les ´ etapes 1 ` a 3 (lemme 2.3) est une connexion (“la connexion
de Gauss-Manin”) au niveau du complexe de De Rham (le complexe de ˇ
Cech du
complexe de De Rham). Cette connexion non n´ ecessairement int´ egrable induit au
niveau cohomologique la connexion (int´ egrable) de Gauss-Manin.
Pour terminer la preuve du th´ eor` eme, reste ` a v´ erifier que la construction cidessus ne d´ epend pas du choix de U = {U α }, ce qui est compl` etement standard.
Si k = C, il est aussi imm´ ediat que la construction ci-dessus s’applique avec S
de Stein, et les U α de Stein, et que le r´ esultat est identique. Pour se convaincre de
l’identit´ e entre cette construction de ∇ et la d´ efinition purement topologique, on
observe que la propri´ et´ e de d´ ecomposition locale du complexe de De Rham, qui
est locale sur X dans le cas alg´ ebrique et analytique, devient locale sur S avec le
complexe des formes C
∞ . Donc on peut supposer que X → S est une filtration
C
∞ triviale. Dans ce cas, on peut construire des morphismes ∇ au niveau des
complexes de De Rham C
∞ , soit ∇ : A
•
X → A
•
X [1], et ∇ = d S (relativement ` a une
d´ ecomposition). Alors, il est ` a peu pr` es ´ evident que sur la cohomologie, ∇ induit
d S ⊗ 1
∇ = 1 ⊗ d S : R
q f ∗ (A
•
X/S ) −→ R
q+1 f ∗ (Gr
1 [1]) = A
1
S ⊗ R
q f ∗ (A
•
X/S ).
et R
q f ∗ (A
•
X/S ) = R
q f ∗ (Ω
•an
X/S ) est le faisceau constant H
q (T, C) sur S (si X =
T × S).
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Il suffit alors de v´ erifier que
(−1)
p+1 (ϕ i 0 − ϕ i 1 )(ω) ≡ (−1)
p I
i 0 ϕ i 1 (ω) (mod F
2 )
pour toute forme ω ∈ Γ(U i 0 ∩ U i 1 , Ω X/S ). Si on pose ϕ i 1 (ω) = α, cette congruence
´ equivaut ` a ϕ i 0 (π(α)) − α ≡ −I i 0 (α) (mod F
2 ), qui d´ ecoule alors du lemme 2.
L’int´ egrabilit´ e de la connexion de Gauss-Manin d´ ecoule imm´ ediatement de la
formule du lemme 4. En effet, on en d´ eduit
∇((d X + δ)ϕ − ϕ(d X/S + δ)) ≡ ∇
2 ◦ ϕ (mod ˇ
C
• (F
3 ))
car ∇ est de degr´ e 1 pour la filtration de Koszul et comme ∇ et d X +δ commutent,
(d X + δ)(∇ ◦ ϕ) − (∇ ◦ ϕ)(d X/S + δ) ≡ ∇
2 ◦ ϕ(mod F
3 ).
Donc ∇
2 induit le morphisme nul (au sens des cat´ egories d´ eriv´ ees) de Gr
0 dans
Gr
2 [2].
Avant de conclure, il est utile de souligner le point suivant. Ce qui a ´ et´ e
construit dans les ´ etapes 1 ` a 3 (lemme 2.3) est une connexion (“la connexion
de Gauss-Manin”) au niveau du complexe de De Rham (le complexe de ˇ
Cech du
complexe de De Rham). Cette connexion non n´ ecessairement int´ egrable induit au
niveau cohomologique la connexion (int´ egrable) de Gauss-Manin.
Pour terminer la preuve du th´ eor` eme, reste ` a v´ erifier que la construction cidessus ne d´ epend pas du choix de U = {U α }, ce qui est compl` etement standard.
Si k = C, il est aussi imm´ ediat que la construction ci-dessus s’applique avec S
de Stein, et les U α de Stein, et que le r´ esultat est identique. Pour se convaincre de
l’identit´ e entre cette construction de ∇ et la d´ efinition purement topologique, on
observe que la propri´ et´ e de d´ ecomposition locale du complexe de De Rham, qui
est locale sur X dans le cas alg´ ebrique et analytique, devient locale sur S avec le
complexe des formes C
∞ . Donc on peut supposer que X → S est une filtration
C
∞ triviale. Dans ce cas, on peut construire des morphismes ∇ au niveau des
complexes de De Rham C
∞ , soit ∇ : A
•
X → A
•
X [1], et ∇ = d S (relativement ` a une
d´ ecomposition). Alors, il est ` a peu pr` es ´ evident que sur la cohomologie, ∇ induit
d S ⊗ 1
∇ = 1 ⊗ d S : R
q f ∗ (A
•
X/S ) −→ R
q+1 f ∗ (Gr
1 [1]) = A
1
S ⊗ R
q f ∗ (A
•
X/S ).
et R
q f ∗ (A
•
X/S ) = R
q f ∗ (Ω
•an
X/S ) est le faisceau constant H
q (T, C) sur S (si X =
T × S).