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J. Bertin, Ch. Peters, Partie I. Variations de structures de Hodge
on peut ainsi d´ efinir un morphisme de complexes
h : Gr
0 −→ ˇ
C
• (U, Gr
1 [1])
qui induit (dans la cat´ egorie d´ eriv´ ee) un morphisme
∇ : Gr
0 −→ Gr
1 [1].
Le lecteur pourra comparer avec la d´ emonstration du lemme (5.4) dans [Ill].
Si on passe ` a la cohomologie, ∇ induit la connexion de Gauss-Manin. On va
faire une construction plus pr´ ecise, et en d´ eduire l’int´ egrabilit´ e de la connexion.
´
Etape 3
Soit β ∈ C
q (U, Ω
p
X ), posons :
L(β)(i 0 , . . . , t q ) = d
i 0
S (β(i 0 , . . . , i q ))
(d´ eriv´ ee de Lie totale)
puis
I(β)(i 0 , . . . , i q+1 ) = (−1)
p (I i 0 − I i 1 )(β(i 1 , . . . , i q+1 )
(produit int´ erieur total)
et
ϕ(β)(i 0 , . . . , i p ) = ϕ i 0 (β(i 0 , . . . , i p )) .
Notons que L est de bidegr´ e (1, 0), I de bidegr´ e (0, 1).
Un calcul ´ el´ ementaire conduit au
2.3. Lemme. ∇ = L + I est un morphisme de complexes
L + I ∈ Hom
ˇ
C
• (U, Ω
•
X ), ˇ
C
• (U, Ω
•
X [1]
.
Notons que par construction, ∇( ˇ
C(U, F
i )) ⊆ ˇ
C(U, F
i+1 ). Pour s’assurer que
sur la cohomologie, le morphisme induit par ∇ = L + I : Gr
0 → Gr
1 [1] est bien la
connexion de Gauss-Manin, la propri´ et´ e suivante est exactement ce qu’il faut :
2.4. Lemme.
(d X + δ)ϕ − ϕ(d X/S + δ) ≡ (L + I) ◦ ϕ (mod ˇ
C
• (F
2 )).
Preuve. Soit β ∈ C
q (U, Ω
p
X/S ) ;
(d X ϕ − ϕd X/S )(β)(i 0 , . . . , i q ) = d
i 0
S ϕ i 0 (β(i 0 , . . . , i q )) .
Un calcul ais´ e montre que
(δϕ − ϕδ)(β)(i 0 , . . . , i q+1 ) = (−1)
p+1 (ϕ i 0 − ϕ i 1 )(β(i 1 , . . . , i q+1 )).