2. Connexion de Gauss-Manin
185
I(d X g) = d S a ⊗ b = d S g. Ceci donne plus g´ en´ eralement I(gdg 1 ∧ · · · ∧ dg p ) =
n
i=1
gdg 1 ∧ · · · ∧ d S g i ∧ · · · ∧ dg p .
Pour la derni` ere propri´ et´ e, supposons ω = gdg 1 ∧ · · · ∧ d S g i ∧ · · · ∧ dg p , alors
ϕπ(ω) = gd X/S g 1 ∧ · · · ∧ d X/S g p
= g(dg 1 − d S g 1 ) ∧ · · · ∧ (g p − d S g p )
= ω − I(ω) (mod F
2 Ω
•
X ) .
´
Etape 2
On suppose S affine, et on choisit un recouvrement ouvert fini X =
m
α=1
U α , o` u
U α est suppos´ e ´ etale sur A
n × S. Ainsi avec une telle trivialisation (se rapporter ` a
l’appendice) on peut, comme indiqu´ e dans l’´ etape 1, d´ ecomposer le complexe de De
Rham Ω
•
U α /k en un produit tensoriel Ω
•
S ⊗ O X Ω
•
U α /S , et d´ ecomposer la diff´ erentielle
d X sur U α , en d X/U α = d
α
S + d
α
X/S . Notons ϕ α la section de π : Ω
•
U α
→ Ω
•
U α /S qui
r´ esulte de cette d´ ecomposition, et soit I α le produit int´ erieur correspondant.
La connexion de Gauss-Manin, d´ ecrit, de mani` ere cohomologique, cette d´ ecomposition (locale) de Ω
•
X en un produit tensoriel Ω
•
S ⊗Ω
•
X/S . Consid´ erons ˇ
C
• (U, Ω
•
X )
(resp. ˇ
C
• (U, F
p ), etc.), le complexe de ˇ
Cech ` a coefficients dans Ω
•
X (resp. . . .) ([Ill])
on sait (loc. cit.) que le morphisme canonique Ω
•
X → ˇ
C
• (U, Ω
•
X ) est un quasiisomorphisme. Notons aussi, que les ouverts U α ´ etant affines, alors le foncteur
K
• −→ ˇ
C
• (U, K
• ) est exact, par suite :
ˇ
C
• (U, Gr
p (Ω
•
X )) = ˇ
C
• (U, F
p )/ ˇ
C(U, F
p+1 ).
La diff´ erentielle du complexe de ˇ
Cech est not´ ee d + δ o` u d est la diff´ erentielle au
niveau des formes, et δ la diff´ erentielle “de ˇ
Cech” :
(δβ)(i 0 , . . . , i q ) = (−1)
p
q
j=0
(−1)
j β(i 0 , . . . , ˆ i j , . . . , i q )
(si β ∈ C
p,q = C
q (U, Ω
p
X )).
Pour tout indice α, soit h α = d
α
S ◦ϕ α vu comme morphisme de complexes : h α :
Gr
0 (Ω
•
X )
U α
−→ Gr
1 (Ω
•
X )[1]
U α
(v´ erification imm´ ediate), et soit ψ αβ = ϕ β − ϕ α
(mod F
2 ), donc
ψ αβ : Gr
0 (Ω
•
X )
U α ∩U β
−→ Gr
1 (Ω
•
X )
U α ∩U β .
On a ψ αβ + ψ βα = ψ αγ (pour tout (α, β, γ)), et (h β − h α )
U α ∩U β
= dψ αβ , ce qui
signifie
d
α
S ϕ α − d
β
S ϕ β = (d
α
S + d
α
X/S )ϕ α − (d
β
S + d
β
X/S )ϕ β − (ϕ α − ϕ β )d X/S
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I(d X g) = d S a ⊗ b = d S g. Ceci donne plus g´ en´ eralement I(gdg 1 ∧ · · · ∧ dg p ) =
n
i=1
gdg 1 ∧ · · · ∧ d S g i ∧ · · · ∧ dg p .
Pour la derni` ere propri´ et´ e, supposons ω = gdg 1 ∧ · · · ∧ d S g i ∧ · · · ∧ dg p , alors
ϕπ(ω) = gd X/S g 1 ∧ · · · ∧ d X/S g p
= g(dg 1 − d S g 1 ) ∧ · · · ∧ (g p − d S g p )
= ω − I(ω) (mod F
2 Ω
•
X ) .
´
Etape 2
On suppose S affine, et on choisit un recouvrement ouvert fini X =
m
α=1
U α , o` u
U α est suppos´ e ´ etale sur A
n × S. Ainsi avec une telle trivialisation (se rapporter ` a
l’appendice) on peut, comme indiqu´ e dans l’´ etape 1, d´ ecomposer le complexe de De
Rham Ω
•
U α /k en un produit tensoriel Ω
•
S ⊗ O X Ω
•
U α /S , et d´ ecomposer la diff´ erentielle
d X sur U α , en d X/U α = d
α
S + d
α
X/S . Notons ϕ α la section de π : Ω
•
U α
→ Ω
•
U α /S qui
r´ esulte de cette d´ ecomposition, et soit I α le produit int´ erieur correspondant.
La connexion de Gauss-Manin, d´ ecrit, de mani` ere cohomologique, cette d´ ecomposition (locale) de Ω
•
X en un produit tensoriel Ω
•
S ⊗Ω
•
X/S . Consid´ erons ˇ
C
• (U, Ω
•
X )
(resp. ˇ
C
• (U, F
p ), etc.), le complexe de ˇ
Cech ` a coefficients dans Ω
•
X (resp. . . .) ([Ill])
on sait (loc. cit.) que le morphisme canonique Ω
•
X → ˇ
C
• (U, Ω
•
X ) est un quasiisomorphisme. Notons aussi, que les ouverts U α ´ etant affines, alors le foncteur
K
• −→ ˇ
C
• (U, K
• ) est exact, par suite :
ˇ
C
• (U, Gr
p (Ω
•
X )) = ˇ
C
• (U, F
p )/ ˇ
C(U, F
p+1 ).
La diff´ erentielle du complexe de ˇ
Cech est not´ ee d + δ o` u d est la diff´ erentielle au
niveau des formes, et δ la diff´ erentielle “de ˇ
Cech” :
(δβ)(i 0 , . . . , i q ) = (−1)
p
q
j=0
(−1)
j β(i 0 , . . . , ˆ i j , . . . , i q )
(si β ∈ C
p,q = C
q (U, Ω
p
X )).
Pour tout indice α, soit h α = d
α
S ◦ϕ α vu comme morphisme de complexes : h α :
Gr
0 (Ω
•
X )
U α
−→ Gr
1 (Ω
•
X )[1]
U α
(v´ erification imm´ ediate), et soit ψ αβ = ϕ β − ϕ α
(mod F
2 ), donc
ψ αβ : Gr
0 (Ω
•
X )
U α ∩U β
−→ Gr
1 (Ω
•
X )
U α ∩U β .
On a ψ αβ + ψ βα = ψ αγ (pour tout (α, β, γ)), et (h β − h α )
U α ∩U β
= dψ αβ , ce qui
signifie
d
α
S ϕ α − d
β
S ϕ β = (d
α
S + d
α
X/S )ϕ α − (d
β
S + d
β
X/S )ϕ β − (ϕ α − ϕ β )d X/S