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J. Bertin, Ch. Peters, Partie I. Variations de structures de Hodge
tel que e
′ e = (−1)
(p+q)(p
′ +q
′ ) ee
′ et d 1 (ee
′ ) = (d 1 e)e
′ + (−1)
p+q e · d 1 (e
′ ). Il est peut
ˆ etre plus convaincant de mettre sous forme explicite ∂, l’int´ egrabilit´ e sera alors
une cons´ equence facile du r´ esultat. C’est la proc´ edure que nous allons d´ etailler en
plusieurs ´ etapes.
´
Etape 1
Le probl` eme ´ etant local sur S, on peut supposer S affine (de Stein, dans le cadre
analytique). On suppose d’abord que X = S ×T est un produit, sans supposer que
T est projectif ; on peut de la mˆ eme fa¸ con supposer que X est ´ etale sur A
n × S.
Avec cette hypoth` ese de trivialit´ e de la famille, la suite exacte (1) est scind´ ee, et
Ω
•
X = p
∗
1 (Ω
•
S )⊗p
∗
2 (Ω
•
T ) (produit tensoriel de complexes). On peut identifier p
∗
2 (Ω
•
T )
avec Ω
•
X/S , alors la diff´ erentielle totale d X se d´ ecompose en d X = d S + d X/S . On
fera attention au fait que le produit tensoriel est sur O X , alors que la diff´ erentielle
est seulement k-lin´ eaire. Localement, on peut d´ ecrire la situation de la mani` ere
suivante : soit S = Spec(A), T = Spec(B), donc X = Spec(A ⊗ k B). Prenons
Ω
•
S = Λ
• Ω
1
A/k , Ω
•
T = Λ
• Ω
1
B/k , qui sont des alg` ebres gradu´ ees sur A (resp. B).
Alors on a Ω
1
X/k = Ω
1
S ⊗ k B ⊕ A ⊗ k Ω
1
T et Ω
•
X = Ω
•
S ⊗ k Ω
•
T avec la structure
naturelle de A ⊗ k B alg` ebre gradu´ ee. La diff´ erentielle est d X = d S + d T , avec
la signification usuelle : d X (α ⊗ β) = d S (α) ⊗ β + (−1)
p α ⊗ d T (β), si α ∈ Ω
p
S ,
β ∈ Ω
q
T . Notons que Ω
•
X/S = A ⊗ k Ω
•
T , d X/S = 1 ⊗ d T . Le morphisme quotient
π : Ω
•
X → Ω
•
X/S admet une section naturelle ϕ (de groupes), telle que, avec un
abus d’´ ecriture :
ϕ(hd X/S f 1 ∧ · · · ∧ d X/S f p ) = hd X/S f 1 ∧ · · · ∧ d X/S f p
o` u ` a droite d X/S est la diff´ erentielle partielle issue de la d´ ecomposition d X =
d S + d X/S . On a
F
p =
ip
Ω
i
S ⊗ Ω
j
T
et Ω
•
X = F
1
Ω
•
X/S .
2.2. Lemme. Il existe une d´ erivation I (produit int´ erieur total) de l’alg` ebre Ω
•
X ,
donc I(α ∧ β) = I(α) ∧ β + α ∧ I(β), telle que I(dg) = d S g. De plus, on a pour
toute forme ω ∈ Ω
•
X :
ϕπ(ω) − ω ≡ −I(ω) (mod F
2 Ω
•
X ).
Preuve. Avec la description Ω
•
X = Ω
•
S ⊗ k Ω
•
T , on prend pour I, la “d´ erivation”,
d(α ∧ β) = pα ∧ β
si α est de degr´ e p .
Notons que I est O X (= A ⊗ k B) lin´ eaire.
Pour la seconde assertion, on peut supposer g = a ⊗ b, (a ∈ A, b ∈ B),
alors d X g = d S a ⊗ b + a ⊗ d T b avec d S g = d S a ⊗ b et d X/S g = a ⊗ d T b. On a
J. Bertin, Ch. Peters, Partie I. Variations de structures de Hodge
tel que e
′ e = (−1)
(p+q)(p
′ +q
′ ) ee
′ et d 1 (ee
′ ) = (d 1 e)e
′ + (−1)
p+q e · d 1 (e
′ ). Il est peut
ˆ etre plus convaincant de mettre sous forme explicite ∂, l’int´ egrabilit´ e sera alors
une cons´ equence facile du r´ esultat. C’est la proc´ edure que nous allons d´ etailler en
plusieurs ´ etapes.
´
Etape 1
Le probl` eme ´ etant local sur S, on peut supposer S affine (de Stein, dans le cadre
analytique). On suppose d’abord que X = S ×T est un produit, sans supposer que
T est projectif ; on peut de la mˆ eme fa¸ con supposer que X est ´ etale sur A
n × S.
Avec cette hypoth` ese de trivialit´ e de la famille, la suite exacte (1) est scind´ ee, et
Ω
•
X = p
∗
1 (Ω
•
S )⊗p
∗
2 (Ω
•
T ) (produit tensoriel de complexes). On peut identifier p
∗
2 (Ω
•
T )
avec Ω
•
X/S , alors la diff´ erentielle totale d X se d´ ecompose en d X = d S + d X/S . On
fera attention au fait que le produit tensoriel est sur O X , alors que la diff´ erentielle
est seulement k-lin´ eaire. Localement, on peut d´ ecrire la situation de la mani` ere
suivante : soit S = Spec(A), T = Spec(B), donc X = Spec(A ⊗ k B). Prenons
Ω
•
S = Λ
• Ω
1
A/k , Ω
•
T = Λ
• Ω
1
B/k , qui sont des alg` ebres gradu´ ees sur A (resp. B).
Alors on a Ω
1
X/k = Ω
1
S ⊗ k B ⊕ A ⊗ k Ω
1
T et Ω
•
X = Ω
•
S ⊗ k Ω
•
T avec la structure
naturelle de A ⊗ k B alg` ebre gradu´ ee. La diff´ erentielle est d X = d S + d T , avec
la signification usuelle : d X (α ⊗ β) = d S (α) ⊗ β + (−1)
p α ⊗ d T (β), si α ∈ Ω
p
S ,
β ∈ Ω
q
T . Notons que Ω
•
X/S = A ⊗ k Ω
•
T , d X/S = 1 ⊗ d T . Le morphisme quotient
π : Ω
•
X → Ω
•
X/S admet une section naturelle ϕ (de groupes), telle que, avec un
abus d’´ ecriture :
ϕ(hd X/S f 1 ∧ · · · ∧ d X/S f p ) = hd X/S f 1 ∧ · · · ∧ d X/S f p
o` u ` a droite d X/S est la diff´ erentielle partielle issue de la d´ ecomposition d X =
d S + d X/S . On a
F
p =
ip
Ω
i
S ⊗ Ω
j
T
et Ω
•
X = F
1
Ω
•
X/S .
2.2. Lemme. Il existe une d´ erivation I (produit int´ erieur total) de l’alg` ebre Ω
•
X ,
donc I(α ∧ β) = I(α) ∧ β + α ∧ I(β), telle que I(dg) = d S g. De plus, on a pour
toute forme ω ∈ Ω
•
X :
ϕπ(ω) − ω ≡ −I(ω) (mod F
2 Ω
•
X ).
Preuve. Avec la description Ω
•
X = Ω
•
S ⊗ k Ω
•
T , on prend pour I, la “d´ erivation”,
d(α ∧ β) = pα ∧ β
si α est de degr´ e p .
Notons que I est O X (= A ⊗ k B) lin´ eaire.
Pour la seconde assertion, on peut supposer g = a ⊗ b, (a ∈ A, b ∈ B),
alors d X g = d S a ⊗ b + a ⊗ d T b avec d S g = d S a ⊗ b et d X/S g = a ⊗ d T b. On a