2. Connexion de Gauss-Manin
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Une v´ erification ais´ ee montre que la classe c k ∈ H
1 (X, Hom(Λ
k F, G ⊗ Λ
k−1 F) se
d´ eduit de c par l’application produit int´ erieur
I : Hom(F, G) → Hom(Λ
k F, G ⊗ Λ
k−1 F)
o` u I(λ)(f 1 ∧ · · · ∧ f p ) =
p
i=1
(−1)
i−1 λ(f i ) ⊗ f 1 ∧ · · · ∧ ˆ
f i ∧ · · · ∧ f p .
Retournons ` a la situation g´ eom´ etrique. L’application de Kodaira-Spencer se
d´ eduit de la classe de l’extension (1) ; on va voir que la connexion de Gauss-Manin
se d´ eduit de la classe de l’extension de complexes
(2)
0 −→
Gr
1
−→ F
0 /F
2 −→ Gr
0
−→ 0
f
∗ (Ω
1
S ) ⊗ Ω
•
X/S [−1]
Ω
•
X/S
(se reporter ` a [Ill] pour une d´ efinition pr´ ecise).
Consid´ erons le morphisme bord en hypercohomologie
∂ : R
k f ∗ (Gr
0 ) −→ R
k+1 f ∗ (Gr
1 )
qui apr` es identification est
∂ : H
k (X/S) −→ R
k+1 f ∗ (f
∗ (Ω
1
S ) ⊗ O X Ω
•
X/S [−1])
Ω
1
S ⊗ O S H
k (X/S)
on en vient au r´ esultat principal :
2.1. Th´ eor` eme.
1) ∂ est une connexion int´ egrable sur le fibr´ e de cohomologie de De Rham
H
k (X/S).
2) Le complexe de de Rham associ´ e : (H
k (X/S) ⊗ Ω
•
S , ∂) s’identifie au complexe
E
•,k
1
d´ eduit de la suite spectrale de Ω
•
X filtr´ e par la filtration de Koszul,
relativement au foncteur f ∗ .
3) Si k = C, apr` es identification des faisceaux, ∂ co¨ ıncide avec ∇.
Avant de donner les d´ etails de la preuve, indiquons que 1) et 2) s’obtiennent facilement si on tient compte de la compatibilit´ e de la filtration de Koszul
relativement au produit ext´ erieur : F
i ∧ F
j ⊂ F
i+j . Cela permet de d´ efinir un
accouplement dans la suite spectrale
E
pq
1 × E
p
′ q
′
1
−→ E
p+p
′ ,q+q
′
1
,
(e, e
′ ) −→ ee
′