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J. Bertin, Ch. Peters, Partie I. Variations de structures de Hodge
Cette extension, qui en g´ en´ eral est non triviale, est associ´ ee ` a une classe c ∈
Ext
1 (Ω
1
X/S , f
∗ (Ω
1
S )), et comme Ω
1
X/S est localement libre, on a la suite exacte
Ext
1 (Ω
1
X/S , f
∗ (Ω
1
S )) ∼ = H
1 (X, Hom O X (Ω
1
X/S , f
∗ (Ω
1
S )) ;
l’image de c par l’application canonique
H
1 (X, Hom O X (Ω
1
X/S , f
∗ (Ω
1 S
= T X/S ⊗ f
∗ (Ω
1
S )
)) −→ H
0 (X, R
1 f ∗ (T X/S ⊗ f
∗ (Ω
1
S ))
H
0 (X, Ω
1
S ⊗ R
1 f ∗ (T X/S ))
est appel´ ee la classe de Kodaira-Spencer de X/S ; on peut voir cette classe comme
un morphisme, le morphisme de Kodaira-Spencer : ρ X/S : T S −→ R
1 f ∗ (T X/S ). La
fibre (ρ X/S ) s = ρ s : T S,s −→ H
1 (X s , T X s ) est l’application de Kodaira-Spencer en
s ∈ S.
Rappelons ([Ill]) que si c ∈ H
1 (X, Hom(F, G)) est la classe d’une extension
0 → G → H → F → 0, le morphisme bord ∂ : H
q (X, F) → H
q+1 (X, G) s’identifie
avec le cup-produit avec c.
L’application de Kodaira-Spencer en s mesure comment X s se d´ eforme dans
la famille X/S au voisinage de s, du moins infinit´ esimalement
On reviendra ` a l’application de Kodaira-Spencer dans le §3.C.
2.C. Alg´ ebricit´ e de la connexion de Gauss-Manin
Les faisceaux H
k (X/S), F
p H
k ont une d´ efinition alg´ ebrique, via la cohomologie
de De Rham alg´ ebrique ; on va voir qu’il en est de mˆ eme pour la connexion de
Gauss-Manin.
Passons au complexe de De Rham Ω
•
X/k = Λ
• Ω
1
X/k ; ce complexe n’est pas
en g´ en´ eral “multiplicatif” par rapport aux deux extrˆ emes. On introduit alors la
filtration de Koszul de Ω
•
X/k qui mesure cette d´ eviation. La d´ efinition vaut pour
toute extension 0 → G → H → F → 0 (de O X -modules localement libres). On
pose :
F
p Λ
• H = image
Λ
p G ⊗ Λ
• F[−p] −→ Λ
• H
on a clairement Gr
p = F
p /F
p+1 ∼ = Λ
p G ⊗ Λ
• F[−p], [−p] signifie qu’il y a un
d´ ecalage de −p dans le degr´ e. Consid´ erons la suite exacte de faisceaux :
0 −→
Gr
1
−→ F
0 /F
2 −→ Gr
0
−→ 0
G ⊗ Λ
• F[−1]
Λ
• F
qui en degr´ e k, conduit ` a l’extension :
0 −→ G ⊗ Λ
k−1 F −→ (F
0 /F
2 )
k −→ Λ
k F −→ 0 .
J. Bertin, Ch. Peters, Partie I. Variations de structures de Hodge
Cette extension, qui en g´ en´ eral est non triviale, est associ´ ee ` a une classe c ∈
Ext
1 (Ω
1
X/S , f
∗ (Ω
1
S )), et comme Ω
1
X/S est localement libre, on a la suite exacte
Ext
1 (Ω
1
X/S , f
∗ (Ω
1
S )) ∼ = H
1 (X, Hom O X (Ω
1
X/S , f
∗ (Ω
1
S )) ;
l’image de c par l’application canonique
H
1 (X, Hom O X (Ω
1
X/S , f
∗ (Ω
1 S
= T X/S ⊗ f
∗ (Ω
1
S )
)) −→ H
0 (X, R
1 f ∗ (T X/S ⊗ f
∗ (Ω
1
S ))
H
0 (X, Ω
1
S ⊗ R
1 f ∗ (T X/S ))
est appel´ ee la classe de Kodaira-Spencer de X/S ; on peut voir cette classe comme
un morphisme, le morphisme de Kodaira-Spencer : ρ X/S : T S −→ R
1 f ∗ (T X/S ). La
fibre (ρ X/S ) s = ρ s : T S,s −→ H
1 (X s , T X s ) est l’application de Kodaira-Spencer en
s ∈ S.
Rappelons ([Ill]) que si c ∈ H
1 (X, Hom(F, G)) est la classe d’une extension
0 → G → H → F → 0, le morphisme bord ∂ : H
q (X, F) → H
q+1 (X, G) s’identifie
avec le cup-produit avec c.
L’application de Kodaira-Spencer en s mesure comment X s se d´ eforme dans
la famille X/S au voisinage de s, du moins infinit´ esimalement
On reviendra ` a l’application de Kodaira-Spencer dans le §3.C.
2.C. Alg´ ebricit´ e de la connexion de Gauss-Manin
Les faisceaux H
k (X/S), F
p H
k ont une d´ efinition alg´ ebrique, via la cohomologie
de De Rham alg´ ebrique ; on va voir qu’il en est de mˆ eme pour la connexion de
Gauss-Manin.
Passons au complexe de De Rham Ω
•
X/k = Λ
• Ω
1
X/k ; ce complexe n’est pas
en g´ en´ eral “multiplicatif” par rapport aux deux extrˆ emes. On introduit alors la
filtration de Koszul de Ω
•
X/k qui mesure cette d´ eviation. La d´ efinition vaut pour
toute extension 0 → G → H → F → 0 (de O X -modules localement libres). On
pose :
F
p Λ
• H = image
Λ
p G ⊗ Λ
• F[−p] −→ Λ
• H
on a clairement Gr
p = F
p /F
p+1 ∼ = Λ
p G ⊗ Λ
• F[−p], [−p] signifie qu’il y a un
d´ ecalage de −p dans le degr´ e. Consid´ erons la suite exacte de faisceaux :
0 −→
Gr
1
−→ F
0 /F
2 −→ Gr
0
−→ 0
G ⊗ Λ
• F[−1]
Λ
• F
qui en degr´ e k, conduit ` a l’extension :
0 −→ G ⊗ Λ
k−1 F −→ (F
0 /F
2 )
k −→ Λ
k F −→ 0 .