2. Connexion de Gauss-Manin
181
On peut ´ etendre ∇ en une application k-lin´ eaire : ∇ : Ω
p
S ⊗ O S F → Ω
p+q
S
⊗ O S F en
for¸ cant la r` egle : ∇(α ⊗ e) = dα ⊗ e + (−1)
p α ∧ ∇e (α = p-forme). Alors l’op´ erateur
R = ∇∇ est O S -lin´ eaire ; on a
R ∈ Hom O S (F, Ω
2
S ⊗ O S F) = Ω
2
S (End(F)),
on l’appelle l’op´ erateur de courbure de ∇. La connexion est dite int´ egrable (ou
plate) si R = 0, donc si
0 −→ F
∇
−→ Ω
1
S ⊗ F
∇
−→ Ω
2
S ⊗ F −→ · · ·
est un complexe. On l’appelle le complexe de De Rham associ´ e, vu le cas particulier
F = O S , ∇ = d.
Rappelons que pour tout champ v sur X (ou sur un ouvert de X), l’op´ erateur
k-lin´ eaire ∇ v (contraction de ∇ avec v) est appel´ e la d´ eriv´ ee covariante dans la
direction de v. La condition d’int´ egrabilit´ e ´ equivaut ` a
(plat)
[∇ v , ∇ w ] = ∇ [v,w]
(v, w champs sur X),
[v, w] ´ etant le crochet des champs v et w.
Lorsque k = C, si ∇ est une connexion int´ egrable sur le fibr´ e vectoriel F
(faisceau localement libre de rang n), le th´ eor` eme d’existence locale des solutions
des ´ equations diff´ erentielles lin´ eaires, ici l’´ equation ∇e = 0, entraˆ ıne que V =
ker(∇) ⊂ F est un sous-faisceau localement constant et que F = V⊗ C O S est le fibr´ e
associ´ e ` a V. Alors ∇ = 1 ⊗ d, ce qui signifie que si on choisit localement une base
{e i } de F , compos´ ee de sections plates (sections de V) : ∇(
i a i ⊗e i ) =
i da i ⊗e i .
Inversement, pour un faisceau V localement constant sur S, F = V ⊗ O S le
fibr´ e associ´ e, ∇ = 1 ⊗ d est une connexion plate avec ker ∇ = V. Donc, il y a une
´ equivalence de cat´ egories, entre les fibr´ es plats, i.e. les couples (F, ∇) avec R ∇ = 0)
et les faisceaux localement constants de C espaces vectoriels, les morphismes de
fibr´ es ´ etant les morphismes horizontaux.
Revenons ` a la situation g´ eom´ etrique avec f : X → S, qui repr´ esente une famille
de vari´ et´ es alg´ ebriques projectives, lisses. On a vu [Dem §10], qu’une famille est
localement triviale du point de vue C
∞ et donc que les faisceaux ab´ eliens R
k f ∗ C,
R
k f ∗ R, R
k f ∗ Z sont des syst` emes locaux. Ainsi H
k (X/S) = R
k f ∗ (C) ⊗ C O S ; on
appelle connexion de Gauss-Manin sur le fibr´ e de cohomologie H
k (X/S), l’unique
connexion (holomorphe) qui a pour sections horizontales (ou plates), les sections
de R
k f ∗ (C), i.e. :
∇ GM (e) = 0 ⇐⇒ e ∈ R
k f ∗ (C).
2.B. L’application de Kodaira-Spencer
Maintenant k est arbitraire, et S est un sch´ ema lisse de type fini sur k. Du fait
de la lissit´ e de f , on a une suite exacte
(1)
0 −→ f
∗ (Ω
1
S ) −→ Ω
1
X −→ Ω
1
X/S −→ 0 .
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On peut ´ etendre ∇ en une application k-lin´ eaire : ∇ : Ω
p
S ⊗ O S F → Ω
p+q
S
⊗ O S F en
for¸ cant la r` egle : ∇(α ⊗ e) = dα ⊗ e + (−1)
p α ∧ ∇e (α = p-forme). Alors l’op´ erateur
R = ∇∇ est O S -lin´ eaire ; on a
R ∈ Hom O S (F, Ω
2
S ⊗ O S F) = Ω
2
S (End(F)),
on l’appelle l’op´ erateur de courbure de ∇. La connexion est dite int´ egrable (ou
plate) si R = 0, donc si
0 −→ F
∇
−→ Ω
1
S ⊗ F
∇
−→ Ω
2
S ⊗ F −→ · · ·
est un complexe. On l’appelle le complexe de De Rham associ´ e, vu le cas particulier
F = O S , ∇ = d.
Rappelons que pour tout champ v sur X (ou sur un ouvert de X), l’op´ erateur
k-lin´ eaire ∇ v (contraction de ∇ avec v) est appel´ e la d´ eriv´ ee covariante dans la
direction de v. La condition d’int´ egrabilit´ e ´ equivaut ` a
(plat)
[∇ v , ∇ w ] = ∇ [v,w]
(v, w champs sur X),
[v, w] ´ etant le crochet des champs v et w.
Lorsque k = C, si ∇ est une connexion int´ egrable sur le fibr´ e vectoriel F
(faisceau localement libre de rang n), le th´ eor` eme d’existence locale des solutions
des ´ equations diff´ erentielles lin´ eaires, ici l’´ equation ∇e = 0, entraˆ ıne que V =
ker(∇) ⊂ F est un sous-faisceau localement constant et que F = V⊗ C O S est le fibr´ e
associ´ e ` a V. Alors ∇ = 1 ⊗ d, ce qui signifie que si on choisit localement une base
{e i } de F , compos´ ee de sections plates (sections de V) : ∇(
i a i ⊗e i ) =
i da i ⊗e i .
Inversement, pour un faisceau V localement constant sur S, F = V ⊗ O S le
fibr´ e associ´ e, ∇ = 1 ⊗ d est une connexion plate avec ker ∇ = V. Donc, il y a une
´ equivalence de cat´ egories, entre les fibr´ es plats, i.e. les couples (F, ∇) avec R ∇ = 0)
et les faisceaux localement constants de C espaces vectoriels, les morphismes de
fibr´ es ´ etant les morphismes horizontaux.
Revenons ` a la situation g´ eom´ etrique avec f : X → S, qui repr´ esente une famille
de vari´ et´ es alg´ ebriques projectives, lisses. On a vu [Dem §10], qu’une famille est
localement triviale du point de vue C
∞ et donc que les faisceaux ab´ eliens R
k f ∗ C,
R
k f ∗ R, R
k f ∗ Z sont des syst` emes locaux. Ainsi H
k (X/S) = R
k f ∗ (C) ⊗ C O S ; on
appelle connexion de Gauss-Manin sur le fibr´ e de cohomologie H
k (X/S), l’unique
connexion (holomorphe) qui a pour sections horizontales (ou plates), les sections
de R
k f ∗ (C), i.e. :
∇ GM (e) = 0 ⇐⇒ e ∈ R
k f ∗ (C).
2.B. L’application de Kodaira-Spencer
Maintenant k est arbitraire, et S est un sch´ ema lisse de type fini sur k. Du fait
de la lissit´ e de f , on a une suite exacte
(1)
0 −→ f
∗ (Ω
1
S ) −→ Ω
1
X −→ Ω
1
X/S −→ 0 .