180
J. Bertin, Ch. Peters, Partie I. Variations de structures de Hodge
Si on tient compte de la formule de projection (loc. cit.) on a l’identification cidessus. Ainsi on a un lien (si k = C), entre la cohomologie de De Rham et la
cohomologie ` a coefficients constants, que nous pr´ eciserons dans le §2.A.
Dor´ enavant on utilise la convention suivante :
1.4. D´ efinition. Une famille de vari´ et´ es alg´ ebriques projectives est la donn´ ee
d’un morphisme f : X → S, lisse ` a fibres connexes tel que f factorise par P
N × S :
il existe une immersion ferm´ ee i : X → P
N × S, telle que f = pr S ◦ i.
Le morphisme f est donc propre. On se place dans l’hypoth` ese de d´ eg´ en´ erescence de la suite spectrale de Hodge. La filtration d´ ecroissante F
p (H
k (X/S)),
est rappelons-le, la filtration de Hodge. Les F
p sont des sous-fibr´ es vectoriels de
H
k (X/S), et F
p /F
p+1 ∼ = R
q f ∗ (Ω
p
X/S ).
2. Connexion de Gauss-Manin
Pour ´ etudier la variation des classes de cohomologie de De Rham dans une famille, il est
essentiel de pouvoir d´ eriver ces classes par rapport aux coordonn´ ees locales sur la base S. Le but
de ce paragraphe est de donner un sens pr´ ecis `
a cela en expliquant en d´ etail les constructions de
Katz et Oda ([Ka], [K-O]). La construction met en ´ evidence une “connexion” sur une r´ esolution
du complexe de De Rham qui apr` es passage `
a la cohomologie conduit `
a la connexion de GaussManin. Le cadre de ce paragraphe est celui des sch´ emas.
2.A. Syst` emes locaux
Soit S un espace topologique. Un faisceau V (d’ensembles, de groupes,
d’espaces vectoriels etc.) localement constant est appel´ e un syst` eme local. Donc
il y a un recouvrement ouvert de S tel que V soit constant sur les ouverts de
ce recouvrement. On voit facilement qu’un faisceau localement constant est constant sur un espace simplement connexe et donc le rel` evement de V au revˆ etement
universel est constant de fibre V disons ; alors on obtient V comme quotient de
˜
S × V par le groupe fondamental de S qui agit sur ˜
S × V de fa¸ con naturelle :
γ((˜ s), f ) = (˜ s · γ, γ
−1 f ), o` u γ ∈ π 1 (S) agit ` a droite sur ˜
S et ` a gauche sur V .
Cette action conduit ` a une repr´ esentation de π 1 (S) dans V , la repr´ esentation de
monodromie.
On suppose maintenant que S est un sch´ ema (resp. espace analytique, vari´ et´ e
C
∞ ) avec faisceau structural O S . On appelle faisceau associ´ e au syst` eme local V,
le faisceau de O S -modules V ⊗ C O S ; il est localement libre, c’est-` a-dire un fibr´ e
vectoriel sur S. Un tel fibr´ e vectoriel est caract´ eris´ e par le fait qu’il existe un
recouvrement ouvert trivialisant tel que sur l’intersection de deux de ces ouverts,
la matrice de transition est ` a coefficients constants
Rappelons [Dem] qu’une connexion sur F, est un op´ erateur k-lin´ eaire ∇ : F →
Ω
1
S ⊗ O S F (resp. Ω
1,an
S
⊗ F, A
1
S ⊗ F), qui satisfait ` a la r` egle de Leibniz :
∇(ae) = da ⊗ e + a∇e.
J. Bertin, Ch. Peters, Partie I. Variations de structures de Hodge
Si on tient compte de la formule de projection (loc. cit.) on a l’identification cidessus. Ainsi on a un lien (si k = C), entre la cohomologie de De Rham et la
cohomologie ` a coefficients constants, que nous pr´ eciserons dans le §2.A.
Dor´ enavant on utilise la convention suivante :
1.4. D´ efinition. Une famille de vari´ et´ es alg´ ebriques projectives est la donn´ ee
d’un morphisme f : X → S, lisse ` a fibres connexes tel que f factorise par P
N × S :
il existe une immersion ferm´ ee i : X → P
N × S, telle que f = pr S ◦ i.
Le morphisme f est donc propre. On se place dans l’hypoth` ese de d´ eg´ en´ erescence de la suite spectrale de Hodge. La filtration d´ ecroissante F
p (H
k (X/S)),
est rappelons-le, la filtration de Hodge. Les F
p sont des sous-fibr´ es vectoriels de
H
k (X/S), et F
p /F
p+1 ∼ = R
q f ∗ (Ω
p
X/S ).
2. Connexion de Gauss-Manin
Pour ´ etudier la variation des classes de cohomologie de De Rham dans une famille, il est
essentiel de pouvoir d´ eriver ces classes par rapport aux coordonn´ ees locales sur la base S. Le but
de ce paragraphe est de donner un sens pr´ ecis `
a cela en expliquant en d´ etail les constructions de
Katz et Oda ([Ka], [K-O]). La construction met en ´ evidence une “connexion” sur une r´ esolution
du complexe de De Rham qui apr` es passage `
a la cohomologie conduit `
a la connexion de GaussManin. Le cadre de ce paragraphe est celui des sch´ emas.
2.A. Syst` emes locaux
Soit S un espace topologique. Un faisceau V (d’ensembles, de groupes,
d’espaces vectoriels etc.) localement constant est appel´ e un syst` eme local. Donc
il y a un recouvrement ouvert de S tel que V soit constant sur les ouverts de
ce recouvrement. On voit facilement qu’un faisceau localement constant est constant sur un espace simplement connexe et donc le rel` evement de V au revˆ etement
universel est constant de fibre V disons ; alors on obtient V comme quotient de
˜
S × V par le groupe fondamental de S qui agit sur ˜
S × V de fa¸ con naturelle :
γ((˜ s), f ) = (˜ s · γ, γ
−1 f ), o` u γ ∈ π 1 (S) agit ` a droite sur ˜
S et ` a gauche sur V .
Cette action conduit ` a une repr´ esentation de π 1 (S) dans V , la repr´ esentation de
monodromie.
On suppose maintenant que S est un sch´ ema (resp. espace analytique, vari´ et´ e
C
∞ ) avec faisceau structural O S . On appelle faisceau associ´ e au syst` eme local V,
le faisceau de O S -modules V ⊗ C O S ; il est localement libre, c’est-` a-dire un fibr´ e
vectoriel sur S. Un tel fibr´ e vectoriel est caract´ eris´ e par le fait qu’il existe un
recouvrement ouvert trivialisant tel que sur l’intersection de deux de ces ouverts,
la matrice de transition est ` a coefficients constants
Rappelons [Dem] qu’une connexion sur F, est un op´ erateur k-lin´ eaire ∇ : F →
Ω
1
S ⊗ O S F (resp. Ω
1,an
S
⊗ F, A
1
S ⊗ F), qui satisfait ` a la r` egle de Leibniz :
∇(ae) = da ⊗ e + a∇e.