1. Fibr´ es de Hodge
179
en particulier
E
pq
1 = R
q f ∗ (Ω
p
X/S ) =
F
p H
p+q (X/S)
F p+1 H p+q (X/S)
.
Cette hypoth` ese est discut´ ee dans [Ill]. Contentons-nous de l’´ enonc´ e suivant qui
indique les cons´ equences tr` es importantes sur les faisceaux de Hodge (voir [Del3],
th. 5.5 et [Dem] §10 pour le cas complexe).
1.2. Th´ eor` eme. Soit S un sch´ ema de caract´ eristique 0 ; on suppose le morphisme
f : X → S propre et lisse. Alors :
(i) Les faisceaux R
p f ∗ (Ω
p
X/S ) sont localement libres de type fini de formation
compatible ` a tout changement de base.
(ii) La suite spectrale (HDR) d´ eg´ en` ere au terme E 1 .
(iii)Les faisceaux F
p H
p+q (X/S) sont localement libres de rang fini et de formation
compatible ` a tout changement de base.
(iv) La suite spectrale (HDR) a pour fibre en s ∈ S, la suite spectrale correspondante ` a X s .
1.3. Remarques.
Si S est lisse, connexe, la th´ eorie transcendante [Dem] dit que les nombres
de Hodge h
p,q (s) = dim H
p,q (X s ) sont constants. Alors on peut en d´ eduire que
R
p f ∗ (Ω
p
X/S ) s = H
q (X s , Ω
p
X s
). Dans le cas g´ en´ eral, la d´ eg´ en´ erescence de la suite
spectrale de Hodge en un point s ∈ S entraˆ ıne (i) ` a (iv) par des arguments g´ en´ eraux
de Grothendieck (“lemme d’´ echange” [Del3], th. 5.5).
Supposons k = C, et toujours f : X → S propre et lisse. Par le lemme
de Poincar´ e holomorphe relatif, le complexe Ω
•an
X/S est une r´ esolution du faisceau
f
−1 (O S ) (image r´ eciproque faisceautique). (Il suffit de se restreindre ` a la fibre
X s = f
−1 (s)). Alors
H
k (X/S) = R
k f ∗ (f
−1 (O S ))
∼ = O S ⊗ C R
k f ∗ C.
Pour justifier cette identification, rappelons le th´ eor` eme de changement de base
en cohomologie (` a supports propres) (voir Iversen [Iv]). Soit un carr´ e cart´ esien
Y
q
−→ X
g
f
T
p
−→ S
avec f propre, X, S, T , Y des espaces localement compacts. Pour tout faisceau
ab´ elien F sur X, on a un isomorphisme canonique :
p
∗ R
k f ∗ F
∼
−→ R
k g ∗ q
∗ F.
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en particulier
E
pq
1 = R
q f ∗ (Ω
p
X/S ) =
F
p H
p+q (X/S)
F p+1 H p+q (X/S)
.
Cette hypoth` ese est discut´ ee dans [Ill]. Contentons-nous de l’´ enonc´ e suivant qui
indique les cons´ equences tr` es importantes sur les faisceaux de Hodge (voir [Del3],
th. 5.5 et [Dem] §10 pour le cas complexe).
1.2. Th´ eor` eme. Soit S un sch´ ema de caract´ eristique 0 ; on suppose le morphisme
f : X → S propre et lisse. Alors :
(i) Les faisceaux R
p f ∗ (Ω
p
X/S ) sont localement libres de type fini de formation
compatible ` a tout changement de base.
(ii) La suite spectrale (HDR) d´ eg´ en` ere au terme E 1 .
(iii)Les faisceaux F
p H
p+q (X/S) sont localement libres de rang fini et de formation
compatible ` a tout changement de base.
(iv) La suite spectrale (HDR) a pour fibre en s ∈ S, la suite spectrale correspondante ` a X s .
1.3. Remarques.
Si S est lisse, connexe, la th´ eorie transcendante [Dem] dit que les nombres
de Hodge h
p,q (s) = dim H
p,q (X s ) sont constants. Alors on peut en d´ eduire que
R
p f ∗ (Ω
p
X/S ) s = H
q (X s , Ω
p
X s
). Dans le cas g´ en´ eral, la d´ eg´ en´ erescence de la suite
spectrale de Hodge en un point s ∈ S entraˆ ıne (i) ` a (iv) par des arguments g´ en´ eraux
de Grothendieck (“lemme d’´ echange” [Del3], th. 5.5).
Supposons k = C, et toujours f : X → S propre et lisse. Par le lemme
de Poincar´ e holomorphe relatif, le complexe Ω
•an
X/S est une r´ esolution du faisceau
f
−1 (O S ) (image r´ eciproque faisceautique). (Il suffit de se restreindre ` a la fibre
X s = f
−1 (s)). Alors
H
k (X/S) = R
k f ∗ (f
−1 (O S ))
∼ = O S ⊗ C R
k f ∗ C.
Pour justifier cette identification, rappelons le th´ eor` eme de changement de base
en cohomologie (` a supports propres) (voir Iversen [Iv]). Soit un carr´ e cart´ esien
Y
q
−→ X
g
f
T
p
−→ S
avec f propre, X, S, T , Y des espaces localement compacts. Pour tout faisceau
ab´ elien F sur X, on a un isomorphisme canonique :
p
∗ R
k f ∗ F
∼
−→ R
k g ∗ q
∗ F.