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J. Bertin, Ch. Peters, Partie I. Variations de structures de Hodge
de X. Si k = C, et si X est en plus projective, il r´ esulte des th´ eor` emes de comparaison alg´ ebrique-analytique (GAGA) [Se] que H
i (X, Ω
•
X ) est le mˆ eme selon
que Ω
•
X est le complexe alg´ ebrique ou le complexe holomorphe. Donc si k = C, la
cohomologie de X pour la topologie transcendante se calcule ` a partir des formes
diff´ erentielles alg´ ebriques.
Passons ` a la situation relative. Soit f : X → S un morphisme de sch´ emas ; on
suppose f propre. On peut d´ efinir ([Ill]) le complexe des formes de K¨ ahler relatif
Ω
•
X/S , qui est un complexe de O X -modules de type fini (f est de type fini), et avec
pour diff´ erentielle d X/S , un op´ erateur f
−1 (O S ) lin´ eaire. La formation de Ω
•
X/S est
compatible aux changements de base. Si S, X et f sont lisses, et si k = C, on a
l’analogue analytique Ω
•an
X/S (resp. C
∞ , A
•
X/S ) qui est compatible aux changements
de base.
On d´ efinit les faisceaux de cohomologie de De Rham (alg´ ebrique) par ([Ill])
H
k (X/S) := R
k f ∗ (Ω
•
X/S ).
Intuitivement, la fibre en s ∈ S de H
k (X/S) est H
k (X s , Ω
•
X s /k ), si on note
X s =f
−1 (s). A cˆ ot´ e des faisceaux de cohomologie de De Rham, il y a les faisceaux
de Hodge : R
q f ∗ (Ω
p
X/S ), c’est-` a-dire si S est r´ eduit ` a un point, H
q (X, Ω
p
X/k ).
Si k = C, et si on remplace les formes diff´ erentielles alg´ ebriques relatives Ω
•
X/S
par les formes holomorphes relatives Ω
•an
X/S l` a encore les th´ eor` emes de comparaison
assurent que le r´ esultat est le mˆ eme.
Filtrons le complexe Ω
•
X/S (alg´ ebrique, holomorphe,. . .) par la filtration de
Hodge (ou na¨ ıve)
F
p (Ω
•
X/S ) = (Ω
•
X/S )
p
qui est le complexe qui a le mˆ eme terme en degr´ e i p, et qui est nul en degr´ e
< p. Alors, la suite spectrale associ´ ee ` a cette filtration finie, et au foncteur f ∗ , est
la suite spectrale de Hodge vers De Rham :
(HDR)
E
pq
1 = R
q f ∗ (Ω
p
X/S ) =⇒ H
p+q (X/S) = R
p+q f ∗ (Ω
•
X/S ).
Il en d´ ecoule une filtration sur l’aboutissement F
p H
k (X/S), la filtration de Hodge
de la cohomologie de De Rham, et un objet gradu´ e associ´ e
E
p,q
∞ = Gr
p
H
p+q (X/S)
.
L’hypoth` ese essentielle est :
1.1. Hypoth` ese. La suite spectrale de Hodge vers De Rham (relative) d´ eg´ en` ere
au terme E 1 .
Cela signifie
E 1 = E 2 = · · · = E ∞
J. Bertin, Ch. Peters, Partie I. Variations de structures de Hodge
de X. Si k = C, et si X est en plus projective, il r´ esulte des th´ eor` emes de comparaison alg´ ebrique-analytique (GAGA) [Se] que H
i (X, Ω
•
X ) est le mˆ eme selon
que Ω
•
X est le complexe alg´ ebrique ou le complexe holomorphe. Donc si k = C, la
cohomologie de X pour la topologie transcendante se calcule ` a partir des formes
diff´ erentielles alg´ ebriques.
Passons ` a la situation relative. Soit f : X → S un morphisme de sch´ emas ; on
suppose f propre. On peut d´ efinir ([Ill]) le complexe des formes de K¨ ahler relatif
Ω
•
X/S , qui est un complexe de O X -modules de type fini (f est de type fini), et avec
pour diff´ erentielle d X/S , un op´ erateur f
−1 (O S ) lin´ eaire. La formation de Ω
•
X/S est
compatible aux changements de base. Si S, X et f sont lisses, et si k = C, on a
l’analogue analytique Ω
•an
X/S (resp. C
∞ , A
•
X/S ) qui est compatible aux changements
de base.
On d´ efinit les faisceaux de cohomologie de De Rham (alg´ ebrique) par ([Ill])
H
k (X/S) := R
k f ∗ (Ω
•
X/S ).
Intuitivement, la fibre en s ∈ S de H
k (X/S) est H
k (X s , Ω
•
X s /k ), si on note
X s =f
−1 (s). A cˆ ot´ e des faisceaux de cohomologie de De Rham, il y a les faisceaux
de Hodge : R
q f ∗ (Ω
p
X/S ), c’est-` a-dire si S est r´ eduit ` a un point, H
q (X, Ω
p
X/k ).
Si k = C, et si on remplace les formes diff´ erentielles alg´ ebriques relatives Ω
•
X/S
par les formes holomorphes relatives Ω
•an
X/S l` a encore les th´ eor` emes de comparaison
assurent que le r´ esultat est le mˆ eme.
Filtrons le complexe Ω
•
X/S (alg´ ebrique, holomorphe,. . .) par la filtration de
Hodge (ou na¨ ıve)
F
p (Ω
•
X/S ) = (Ω
•
X/S )
p
qui est le complexe qui a le mˆ eme terme en degr´ e i p, et qui est nul en degr´ e
< p. Alors, la suite spectrale associ´ ee ` a cette filtration finie, et au foncteur f ∗ , est
la suite spectrale de Hodge vers De Rham :
(HDR)
E
pq
1 = R
q f ∗ (Ω
p
X/S ) =⇒ H
p+q (X/S) = R
p+q f ∗ (Ω
•
X/S ).
Il en d´ ecoule une filtration sur l’aboutissement F
p H
k (X/S), la filtration de Hodge
de la cohomologie de De Rham, et un objet gradu´ e associ´ e
E
p,q
∞ = Gr
p
H
p+q (X/S)
.
L’hypoth` ese essentielle est :
1.1. Hypoth` ese. La suite spectrale de Hodge vers De Rham (relative) d´ eg´ en` ere
au terme E 1 .
Cela signifie
E 1 = E 2 = · · · = E ∞