1. Fibr´ es de Hodge
177
Partie I. Variations de structures de Hodge
1. Fibr´ es de Hodge
On reprend dans ce paragraphe la d´ efinition alg´ ebrique (et analytique) des faisceaux de
cohomologie de De Rham de l’expos´ e d’Illusie [Ill]. La filtration na¨ ıve sur le complexe des formes
diff´ erentielles relatives donne lieu `
a la suite spectrale de Hodge vers De Rham et d´ efinit la
filtration de Hodge sur l’aboutissement, la cohomologie relative. Dans le cas d’une famille de
vari´ et´ es analytiques complexes, projectives et lisses on obtient la filtration de Hodge [Dem] qui
est une filtration par des sous-fibr´ es holomorphes du fibr´ e de cohomologie relative. Le language
utilis´ e est celui de l’hypercohomologie [Ill].
Fixons les notations utilis´ ees dans la suite : un sch´ ema est un sch´ ema de type
fini sur un corps k alg´ ebriquement clos, de caract´ eristique nulle. On peut supposer
k = C si on veut. Pour les incidences du choix de la caract´ eristique positive,
nous renvoyons ` a [Ill]. Lorsque k = C, on passera sans explications pr´ ecises de
la structure de sch´ ema ` a la structure d’espace analytique associ´ ee. De la mˆ eme
mani` ere, si X est un sch´ ema lisse, on aura ` a consid´ erer la structure de vari´ et´ e C
∞
sous-jacente sans avoir ` a le signaler avec pr´ ecision.
Un faisceau sera un faisceau de O X -modules ou bien un faisceau ab´ elien si on
ne retient que la structure C
∞ . La cohomologie, outil indispensable lorsqu’on a ` a
manipuler des familles, est la cohomologie ` a coefficients dans un faisceau (voir le
livre [God] par exemple).
Nous utiliserons aussi le langage de l’hypercohomologie. Soit Ω
• un complexe
(born´ e inf´ erieurement) et Ω
• → I
• une “r´ esolution” injective (ou flasque), c’est` a-dire qui est un isomorphisme si on passe aux faisceaux de cohomologie, alors
H
• (X, Ω
• ) est par d´ efinition l’objet gradu´ e h
• (Γ(X, I
• )) ; de mˆ eme si f : X → S est
une application continue, un morphisme de sch´ emas, etc., R
• f ∗ (Ω
• ) = h
• (f ∗ (I
• ))
est l’objet gradu´ e form´ e des images directes sup´ erieures ` a coefficients dans le complexe Ω
• .
Consid´ erons par exemple la cohomologie d’une vari´ et´ e C
∞ , ` a coefficients
constants C. C’est par d´ efinition H
i (X, C), C = faisceau constant. Le complexe
de De Rham A
•
X des formes diff´ erentielles C
∞ ` a coefficients complexes est une
r´ esolution du faisceau constant C (lemme de Poincar´ e), donc le fait classique :
H
i (X, C) = H
i (X, A
•
X ) = h
i (Γ(X, A
•
X )).
Si X est une vari´ et´ e analytique complexe, le faisceau Ω
p
X ´ etant le faisceau des pformes holomorphes, le complexe de De Rham holomorphe Ω
•
X est une r´ esolution
de C (lemme de Poincar´ e holomorphe), d’o` u :
H
i (X, C) = H
i (X, Ω
•
X )
(hypercohomologie).
Si maintenant X est un sch´ ema, suppos´ e lisse (non singulier), on peut consid´ erer le
complexe Ω
•
X/k des formes diff´ erentielles alg´ ebriques (de K¨ ahler). Les espaces vectoriels H
i (X, Ω
•
X/k ) sont par d´ efinition, la cohomologie de De Rham (alg´ ebrique)
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Partie I. Variations de structures de Hodge
1. Fibr´ es de Hodge
On reprend dans ce paragraphe la d´ efinition alg´ ebrique (et analytique) des faisceaux de
cohomologie de De Rham de l’expos´ e d’Illusie [Ill]. La filtration na¨ ıve sur le complexe des formes
diff´ erentielles relatives donne lieu `
a la suite spectrale de Hodge vers De Rham et d´ efinit la
filtration de Hodge sur l’aboutissement, la cohomologie relative. Dans le cas d’une famille de
vari´ et´ es analytiques complexes, projectives et lisses on obtient la filtration de Hodge [Dem] qui
est une filtration par des sous-fibr´ es holomorphes du fibr´ e de cohomologie relative. Le language
utilis´ e est celui de l’hypercohomologie [Ill].
Fixons les notations utilis´ ees dans la suite : un sch´ ema est un sch´ ema de type
fini sur un corps k alg´ ebriquement clos, de caract´ eristique nulle. On peut supposer
k = C si on veut. Pour les incidences du choix de la caract´ eristique positive,
nous renvoyons ` a [Ill]. Lorsque k = C, on passera sans explications pr´ ecises de
la structure de sch´ ema ` a la structure d’espace analytique associ´ ee. De la mˆ eme
mani` ere, si X est un sch´ ema lisse, on aura ` a consid´ erer la structure de vari´ et´ e C
∞
sous-jacente sans avoir ` a le signaler avec pr´ ecision.
Un faisceau sera un faisceau de O X -modules ou bien un faisceau ab´ elien si on
ne retient que la structure C
∞ . La cohomologie, outil indispensable lorsqu’on a ` a
manipuler des familles, est la cohomologie ` a coefficients dans un faisceau (voir le
livre [God] par exemple).
Nous utiliserons aussi le langage de l’hypercohomologie. Soit Ω
• un complexe
(born´ e inf´ erieurement) et Ω
• → I
• une “r´ esolution” injective (ou flasque), c’est` a-dire qui est un isomorphisme si on passe aux faisceaux de cohomologie, alors
H
• (X, Ω
• ) est par d´ efinition l’objet gradu´ e h
• (Γ(X, I
• )) ; de mˆ eme si f : X → S est
une application continue, un morphisme de sch´ emas, etc., R
• f ∗ (Ω
• ) = h
• (f ∗ (I
• ))
est l’objet gradu´ e form´ e des images directes sup´ erieures ` a coefficients dans le complexe Ω
• .
Consid´ erons par exemple la cohomologie d’une vari´ et´ e C
∞ , ` a coefficients
constants C. C’est par d´ efinition H
i (X, C), C = faisceau constant. Le complexe
de De Rham A
•
X des formes diff´ erentielles C
∞ ` a coefficients complexes est une
r´ esolution du faisceau constant C (lemme de Poincar´ e), donc le fait classique :
H
i (X, C) = H
i (X, A
•
X ) = h
i (Γ(X, A
•
X )).
Si X est une vari´ et´ e analytique complexe, le faisceau Ω
p
X ´ etant le faisceau des pformes holomorphes, le complexe de De Rham holomorphe Ω
•
X est une r´ esolution
de C (lemme de Poincar´ e holomorphe), d’o` u :
H
i (X, C) = H
i (X, Ω
•
X )
(hypercohomologie).
Si maintenant X est un sch´ ema, suppos´ e lisse (non singulier), on peut consid´ erer le
complexe Ω
•
X/k des formes diff´ erentielles alg´ ebriques (de K¨ ahler). Les espaces vectoriels H
i (X, Ω
•
X/k ) sont par d´ efinition, la cohomologie de De Rham (alg´ ebrique)