0. Introduction
175
Par contre reste la fonction non-nulle :
κ sss =
X s
ω(s) ∧ ∇
3
d
ds
ω(s)
qui est l’accouplement de Yukawa.
Cette fonction satisfait ` a une ´ equation diff´ erentielle li´ ee ` a l’´ equation de PicardFuchs. L’analyse cruciale ici est celle du comportement de κ sss lorsque s tend
vers z´ ero. On verra pour justifier l’existence d’un param` etre canonique qu’il est
n´ ecessaire de s’appuyer sur l’existence d’une structure de Hodge limite, argument
essentiellement dˆ u ` a Morrison [Mor1]. Le param` etre canonique auquel on vient de
faire allusion est de la forme q = exp(2πiτ ) o` u τ est le quotient de deux p´ eriodes
convenables. Cela ´ etant fait, on peut d´ efinir le q-d´ eveloppement de κ sss pour s → 0
et observer que ce d´ eveloppement fait apparaˆ ıtre des coefficients entiers positifs,
qui selon le principe de sym´ etrie conduisent aux nombres de courbes rationnelles de
degr´ e donn´ e sur l’hypersurface quintique, nombres inabordables par la g´ eom´ etrie
alg´ ebrique sauf en degr´ e petit. Cet exemple montre clairement qu’en liaison
avec le ph´ enom` ene de sym´ etrie miroir se posent ` a cˆ ot´ e de nombreuses questions
g´ eom´ etriques, et de tr` es int´ eressants probl` emes arithm´ etiques. Ces questions sont
esquiss´ ees dans [L-Y].
Dans le paragraphe final (§11) nous discuterons, selon une id´ ee de Deligne
[Del6], une approche possible de la sym´ etrie miroir en termes d’une dualit´ e entre
certaines variations de structures de Hodge.
Terminons cette introduction en donnant quelques indications bibliographiques
qui peuvent aider le lecteur ` a p´ en´ etrer ce vaste domaine.
• L’article [Grif3] peut ˆ etre consid´ er´ e comme le premier article de synth` ese. Il contient beaucoup d’exemples et des calculs concrets ; les probl` emes ´ enonc´ es dans
cet article ont inspir´ e beaucoup de monde et bien que maintenant partiellement
r´ esolus, il reste encore “des choses ` a faire”.
• Ensuite dans [G-S] on trouve entre autre une introduction relativement
´ el´ ementaire ` a la th´ eorie de Hodge mixte appliqu´ ee aux questions de d´ eg´ en´ erescences.
• L’article [P-S] explique comment on peut utiliser les variations infinit´ esimales pour r´ esoudre certains cas du probl` eme de Torelli : une vari´ et´ e est-elle
d´ etermin´ ee (` a isomorphisme pr` es) par la structure de Hodge sur la cohomologie
(enti` ere) ? On trouve, l` a aussi, une introduction aux domaines de p´ eriodes et
aux espaces des modules.
• La monographie [Grif4] est une tr` es bonne introduction au sujet, elle contient
des articles assez d´ etaill´ es sur les variations de structures de Hodge (aussi sur
les VSH infinit´ esimales). Y figure aussi une discussion des propri´ et´ es de la
courbure de la m´ etrique naturelle d’un domaine de p´ eriodes, r´ esultat qui est
utilis´ e dans le §4. On notera que l’article fondamental [S] de Schmid contient
des paragraphes pouvant servir d’introduction efficace ` a certains aspects de la
th´ eorie de Griffiths.
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Par contre reste la fonction non-nulle :
κ sss =
X s
ω(s) ∧ ∇
3
d
ds
ω(s)
qui est l’accouplement de Yukawa.
Cette fonction satisfait ` a une ´ equation diff´ erentielle li´ ee ` a l’´ equation de PicardFuchs. L’analyse cruciale ici est celle du comportement de κ sss lorsque s tend
vers z´ ero. On verra pour justifier l’existence d’un param` etre canonique qu’il est
n´ ecessaire de s’appuyer sur l’existence d’une structure de Hodge limite, argument
essentiellement dˆ u ` a Morrison [Mor1]. Le param` etre canonique auquel on vient de
faire allusion est de la forme q = exp(2πiτ ) o` u τ est le quotient de deux p´ eriodes
convenables. Cela ´ etant fait, on peut d´ efinir le q-d´ eveloppement de κ sss pour s → 0
et observer que ce d´ eveloppement fait apparaˆ ıtre des coefficients entiers positifs,
qui selon le principe de sym´ etrie conduisent aux nombres de courbes rationnelles de
degr´ e donn´ e sur l’hypersurface quintique, nombres inabordables par la g´ eom´ etrie
alg´ ebrique sauf en degr´ e petit. Cet exemple montre clairement qu’en liaison
avec le ph´ enom` ene de sym´ etrie miroir se posent ` a cˆ ot´ e de nombreuses questions
g´ eom´ etriques, et de tr` es int´ eressants probl` emes arithm´ etiques. Ces questions sont
esquiss´ ees dans [L-Y].
Dans le paragraphe final (§11) nous discuterons, selon une id´ ee de Deligne
[Del6], une approche possible de la sym´ etrie miroir en termes d’une dualit´ e entre
certaines variations de structures de Hodge.
Terminons cette introduction en donnant quelques indications bibliographiques
qui peuvent aider le lecteur ` a p´ en´ etrer ce vaste domaine.
• L’article [Grif3] peut ˆ etre consid´ er´ e comme le premier article de synth` ese. Il contient beaucoup d’exemples et des calculs concrets ; les probl` emes ´ enonc´ es dans
cet article ont inspir´ e beaucoup de monde et bien que maintenant partiellement
r´ esolus, il reste encore “des choses ` a faire”.
• Ensuite dans [G-S] on trouve entre autre une introduction relativement
´ el´ ementaire ` a la th´ eorie de Hodge mixte appliqu´ ee aux questions de d´ eg´ en´ erescences.
• L’article [P-S] explique comment on peut utiliser les variations infinit´ esimales pour r´ esoudre certains cas du probl` eme de Torelli : une vari´ et´ e est-elle
d´ etermin´ ee (` a isomorphisme pr` es) par la structure de Hodge sur la cohomologie
(enti` ere) ? On trouve, l` a aussi, une introduction aux domaines de p´ eriodes et
aux espaces des modules.
• La monographie [Grif4] est une tr` es bonne introduction au sujet, elle contient
des articles assez d´ etaill´ es sur les variations de structures de Hodge (aussi sur
les VSH infinit´ esimales). Y figure aussi une discussion des propri´ et´ es de la
courbure de la m´ etrique naturelle d’un domaine de p´ eriodes, r´ esultat qui est
utilis´ e dans le §4. On notera que l’article fondamental [S] de Schmid contient
des paragraphes pouvant servir d’introduction efficace ` a certains aspects de la
th´ eorie de Griffiths.