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J. Bertin, Ch. Peters, Variations de structures de Hodge
de Higgs, qui forment dans un certain sens une g´ en´ eralisation des variations de
structures de Hodge et qui lui ont permis d’obtenir des cons´ equences surprenantes
concernant les groupes k¨ ahl´ eriens, c’est-` a-dire les groupes qui peuvent apparaˆ ıtre
comme les groupes fondamentaux d’une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne compacte.
La notion compliqu´ ee de module de Hodge joue un rˆ ole central dans les
d´ eveloppements r´ ecents de la th´ eorie de Hodge. Elle n´ ecessite l’introduction
des D-modules, faisceaux pervers et une compr´ ehension de la correspondance
de Riemann-Hilbert, qui d´ ecrit le lien entre ces deux notions. Dans le §6 nous
d´ ecrivons bri` evement ces notions ainsi qu’une application importante ` a la cohomologie d’intersection, introduite par Goresky et MacPherson dans [G-M] : le
groupe de cohomologie d’intersection IH
w (X) d’une vari´ et´ e alg´ ebrique complexe
X porte une structure de Hodge pure de poids w.
D´ ecrivons le contenu de la partie II. Comme dit au d´ ebut, il y a peu de temps
que les physiciens travaillant en physique quantique ont mis en ´ evidence un nouveau ph´ enom` ene de dualit´ e. Les cons´ equences math´ ematiques, encore largement
au stade des sp´ eculations, sont fascinantes. Les expos´ es [F-G] et [P] d´ ecrivent en
d´ etail dans le langage de la physique ce cercle d’id´ ees. Parmi les diverses manifestations de dualit´ e, la sym´ etrie miroir a attir´ e l’attention des g´ eom` etres alg´ ebristes,
principalement ` a la suite du travail d’un groupe de physiciens [C-O-G-P], traduit
partiellement en langage math´ ematique par D. Morrison [Mor1]. Le cadre de cette
sym´ etrie est celui des vari´ et´ es de Calabi-Yau (§7). Une cons´ equence na¨ ıve (v´ erifi´ ee
par l’observation) est que ces vari´ et´ es sont distribu´ ees par paires, une paire ´ etant
form´ ee de la vari´ et´ e miroir de l’autre, et que le tableau des nombres de Hodge
de l’une se d´ eduit du tableau de l’autre par une rotation d’un quart de tour.
La sym´ etrie pr´ edit naturellement beaucoup plus, par exemple que les nombres de
courbes rationnelles de “degr´ e” fix´ e sur l’une est d´ eductible d’informations fournies
par la variation de la structure complexe de l’autre. Pour mettre en forme partiellement cette assertion, on ´ etudie le comportement des p´ eriodes des 3-formes holomorphes lorsque la structure complexe varie. On d´ etermine l’´ equation diff´ erentielle
naturelle satisfaite par ses p´ eriodes, qui est l’´ equation de Picard-Fuchs. Cet aspect
est trait´ e en d´ etail, avec au pr´ ealable la description donn´ ee par Griffiths de la cohomologie d’une hypersurface de P
n . Les d´ etails sont dans le §8, et suivent en partie
l’expos´ e de [C-G]. Les calculs sont d´ etaill´ es car c’est essentiellement ici qu’on peut
tout calculer. Notons que le contexte g´ eom´ etrique (diff´ erentiel) a ´ et´ e formalis´ e par
les physiciens sous le nom de “g´ eom´ etrie sp´ eciale” [Str].
Dans les §9 et 10, on traite l’exemple c´ el` ebre depuis [C-O-G-P] de l’hypersurface quintique de P
4 et de sa vari´ et´ e miroir. Les m´ ethodes de la partie I
interviennent lors de la discussion de l’accouplement de Yukawa. Expliquons
bri` evement de quoi il s’agit. Soit f : X → ∆ une d´ eg´ en´ erescence de vari´ et´ es de
Calabi-Yau de dimension 3, soit ω(s) une 3-forme holomorphe relative (s ∈ ∆) et
soit enfin ∇ d
ds
: H
3 → H
3 la d´ eriv´ ee covariante induite par la connexion de GaussManin. Il r´ esulte de la propri´ et´ e de transversalit´ e que ∇ d
ds
ω(s) est une somme de
termes de type (3, 0) et (2, 1) et donc
X s
ω(s)∧∇ d
ds
ω(s) = 0 =
X s
ω(s)∧∇
2
d
ds
ω(s).
J. Bertin, Ch. Peters, Variations de structures de Hodge
de Higgs, qui forment dans un certain sens une g´ en´ eralisation des variations de
structures de Hodge et qui lui ont permis d’obtenir des cons´ equences surprenantes
concernant les groupes k¨ ahl´ eriens, c’est-` a-dire les groupes qui peuvent apparaˆ ıtre
comme les groupes fondamentaux d’une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne compacte.
La notion compliqu´ ee de module de Hodge joue un rˆ ole central dans les
d´ eveloppements r´ ecents de la th´ eorie de Hodge. Elle n´ ecessite l’introduction
des D-modules, faisceaux pervers et une compr´ ehension de la correspondance
de Riemann-Hilbert, qui d´ ecrit le lien entre ces deux notions. Dans le §6 nous
d´ ecrivons bri` evement ces notions ainsi qu’une application importante ` a la cohomologie d’intersection, introduite par Goresky et MacPherson dans [G-M] : le
groupe de cohomologie d’intersection IH
w (X) d’une vari´ et´ e alg´ ebrique complexe
X porte une structure de Hodge pure de poids w.
D´ ecrivons le contenu de la partie II. Comme dit au d´ ebut, il y a peu de temps
que les physiciens travaillant en physique quantique ont mis en ´ evidence un nouveau ph´ enom` ene de dualit´ e. Les cons´ equences math´ ematiques, encore largement
au stade des sp´ eculations, sont fascinantes. Les expos´ es [F-G] et [P] d´ ecrivent en
d´ etail dans le langage de la physique ce cercle d’id´ ees. Parmi les diverses manifestations de dualit´ e, la sym´ etrie miroir a attir´ e l’attention des g´ eom` etres alg´ ebristes,
principalement ` a la suite du travail d’un groupe de physiciens [C-O-G-P], traduit
partiellement en langage math´ ematique par D. Morrison [Mor1]. Le cadre de cette
sym´ etrie est celui des vari´ et´ es de Calabi-Yau (§7). Une cons´ equence na¨ ıve (v´ erifi´ ee
par l’observation) est que ces vari´ et´ es sont distribu´ ees par paires, une paire ´ etant
form´ ee de la vari´ et´ e miroir de l’autre, et que le tableau des nombres de Hodge
de l’une se d´ eduit du tableau de l’autre par une rotation d’un quart de tour.
La sym´ etrie pr´ edit naturellement beaucoup plus, par exemple que les nombres de
courbes rationnelles de “degr´ e” fix´ e sur l’une est d´ eductible d’informations fournies
par la variation de la structure complexe de l’autre. Pour mettre en forme partiellement cette assertion, on ´ etudie le comportement des p´ eriodes des 3-formes holomorphes lorsque la structure complexe varie. On d´ etermine l’´ equation diff´ erentielle
naturelle satisfaite par ses p´ eriodes, qui est l’´ equation de Picard-Fuchs. Cet aspect
est trait´ e en d´ etail, avec au pr´ ealable la description donn´ ee par Griffiths de la cohomologie d’une hypersurface de P
n . Les d´ etails sont dans le §8, et suivent en partie
l’expos´ e de [C-G]. Les calculs sont d´ etaill´ es car c’est essentiellement ici qu’on peut
tout calculer. Notons que le contexte g´ eom´ etrique (diff´ erentiel) a ´ et´ e formalis´ e par
les physiciens sous le nom de “g´ eom´ etrie sp´ eciale” [Str].
Dans les §9 et 10, on traite l’exemple c´ el` ebre depuis [C-O-G-P] de l’hypersurface quintique de P
4 et de sa vari´ et´ e miroir. Les m´ ethodes de la partie I
interviennent lors de la discussion de l’accouplement de Yukawa. Expliquons
bri` evement de quoi il s’agit. Soit f : X → ∆ une d´ eg´ en´ erescence de vari´ et´ es de
Calabi-Yau de dimension 3, soit ω(s) une 3-forme holomorphe relative (s ∈ ∆) et
soit enfin ∇ d
ds
: H
3 → H
3 la d´ eriv´ ee covariante induite par la connexion de GaussManin. Il r´ esulte de la propri´ et´ e de transversalit´ e que ∇ d
ds
ω(s) est une somme de
termes de type (3, 0) et (2, 1) et donc
X s
ω(s)∧∇ d
ds
ω(s) = 0 =
X s
ω(s)∧∇
2
d
ds
ω(s).