0. Introduction
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le th´ eor` eme de transversalit´ e de Griffiths est le point de d´ epart central de toute
la th´ eorie, comme on pourra s’en convaincre en parcourant la seconde partie. Les
manipulations sur les complexes de De Rham et leurs r´ esolutions sont en fait
proches de ce qui est fait dans [Ill]. Nous prouvons aussi que la connexion de
Gauss-Manin est alg´ ebrique, suivant en cela les calculs de Katz et Oda [K-O].
C’est cet aspect qui est devenu extrˆ emement important dans les d´ eveloppements
r´ ecents (§6).
Dans le §3, on introduit les domaines de p´ eriodes de Griffiths qui sont des
espaces de param` etres pour les structures de Hodge polaris´ ees de poids et nombres
de Hodge fix´ es. Si f : X → S est une famille, on d´ efinit, quitte ` a se restreindre
` a la cohomologie primitive, l’application des p´ eriodes p : S → D (si S n’est
pas simplement connexe il faut remplacer S par son revˆ etement universel) ; on
traduit dans ce cadre la propri´ et´ e de tranversalit´ e. L’´ etude de la diff´ erentielle
de l’application des p´ eriodes conduit naturellement ` a la notion de variation
infinit´ esimale de structures de Hodge introduite dans [C-G-G-H] et trait´ ee ` a la
fin du §3. Cette notion est n´ ecessaire pour justifier certains points fondamentaux
du chapitre II.
Revenons ` a la situation consid´ er´ ee au d´ ebut, celle d’une famille de vari´ et´ es
param´ etr´ ee par une base compacte. Dans cette situation on ne pourra ´ eviter la
pr´ esence de fibres singuli` eres ; il est donc naturel d’´ etudier le comportement de la
variation autour du lieu des fibres singuli` eres. Pour simplifier on suppose que la
base est le disque unit´ e ∆, que f : X → ∆ est de rang maximal au dessus des points
de ∆
∗ = ∆ \ {0}. On dit que f est une d´ eg´ en´ erescence ` a un param` etre. Tourner
une fois autour de 0 induit l’action de monodromie locale T : H
w (X s ) → H
w (X s ),
s ∈ ∆. Cette action pr´ eserve la structure enti` ere, la polarisation et la filtration
de Hodge. Le th´ eor` eme de la monodromie locale de [La] et [S] dit que T est
quasi-unipotente, c’est-` a-dire, pour k, m ∈ N convenables, (T
k − 1l)
m = 0. Un
autre r´ esultat important est le th´ eor` eme local des cycles invariants de [Cl] qui dit
qu’une classe α ∈ H
w (X s ) est T -invariante si et seulement si α est la restriction
` a X s d’une classe d´ efinie sur X tout entier. La d´ emonstration de ce th´ eor` eme
n´ ecessite la construction d’une filtration de Hodge sur H
w (X s ) diff´ erente de la
filtration classique et qui est mieux adapt´ ee au passage ` a la limite quand s tend
vers z´ ero, la filtration de Hodge limite. L’op´ erateur de monodromie T , lui aussi
induit une filtration, celle des poids, et jointe ` a la filtration limite on obtient
une structure plus compliqu´ ee appel´ ee : structure de Hodge mixte sur H
w (X s ),
ou encore la structure limite. Dans le §4 nous exposerons bri` evement la notion
de structure de Hodge mixte et les r´ esultats fondamentaux de Deligne [Del4] et
[Del5] sur l’existence d’une telle structure sur les vari´ et´ es alg´ ebriques qui ne sont
pas n´ ecessairement compactes ni lisses. Ensuite nous donnerons une description de
la structure limite en r´ esumant quelques r´ esultats importants qui se trouvent dans
les articles [S] et [Cl]. Le §4 se termine par une description des faisceaux des cycles
proches et ´ evanescents qui est essentielle pour comprendre le travail de Saito [Sa1]
sur les modules de Hodge, travail tr` es partiellement esquiss´ e dans le §6.
Dans le §5 nous r´ esumons quelques r´ esultats r´ ecents de Simpson sur les fibr´ es
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le th´ eor` eme de transversalit´ e de Griffiths est le point de d´ epart central de toute
la th´ eorie, comme on pourra s’en convaincre en parcourant la seconde partie. Les
manipulations sur les complexes de De Rham et leurs r´ esolutions sont en fait
proches de ce qui est fait dans [Ill]. Nous prouvons aussi que la connexion de
Gauss-Manin est alg´ ebrique, suivant en cela les calculs de Katz et Oda [K-O].
C’est cet aspect qui est devenu extrˆ emement important dans les d´ eveloppements
r´ ecents (§6).
Dans le §3, on introduit les domaines de p´ eriodes de Griffiths qui sont des
espaces de param` etres pour les structures de Hodge polaris´ ees de poids et nombres
de Hodge fix´ es. Si f : X → S est une famille, on d´ efinit, quitte ` a se restreindre
` a la cohomologie primitive, l’application des p´ eriodes p : S → D (si S n’est
pas simplement connexe il faut remplacer S par son revˆ etement universel) ; on
traduit dans ce cadre la propri´ et´ e de tranversalit´ e. L’´ etude de la diff´ erentielle
de l’application des p´ eriodes conduit naturellement ` a la notion de variation
infinit´ esimale de structures de Hodge introduite dans [C-G-G-H] et trait´ ee ` a la
fin du §3. Cette notion est n´ ecessaire pour justifier certains points fondamentaux
du chapitre II.
Revenons ` a la situation consid´ er´ ee au d´ ebut, celle d’une famille de vari´ et´ es
param´ etr´ ee par une base compacte. Dans cette situation on ne pourra ´ eviter la
pr´ esence de fibres singuli` eres ; il est donc naturel d’´ etudier le comportement de la
variation autour du lieu des fibres singuli` eres. Pour simplifier on suppose que la
base est le disque unit´ e ∆, que f : X → ∆ est de rang maximal au dessus des points
de ∆
∗ = ∆ \ {0}. On dit que f est une d´ eg´ en´ erescence ` a un param` etre. Tourner
une fois autour de 0 induit l’action de monodromie locale T : H
w (X s ) → H
w (X s ),
s ∈ ∆. Cette action pr´ eserve la structure enti` ere, la polarisation et la filtration
de Hodge. Le th´ eor` eme de la monodromie locale de [La] et [S] dit que T est
quasi-unipotente, c’est-` a-dire, pour k, m ∈ N convenables, (T
k − 1l)
m = 0. Un
autre r´ esultat important est le th´ eor` eme local des cycles invariants de [Cl] qui dit
qu’une classe α ∈ H
w (X s ) est T -invariante si et seulement si α est la restriction
` a X s d’une classe d´ efinie sur X tout entier. La d´ emonstration de ce th´ eor` eme
n´ ecessite la construction d’une filtration de Hodge sur H
w (X s ) diff´ erente de la
filtration classique et qui est mieux adapt´ ee au passage ` a la limite quand s tend
vers z´ ero, la filtration de Hodge limite. L’op´ erateur de monodromie T , lui aussi
induit une filtration, celle des poids, et jointe ` a la filtration limite on obtient
une structure plus compliqu´ ee appel´ ee : structure de Hodge mixte sur H
w (X s ),
ou encore la structure limite. Dans le §4 nous exposerons bri` evement la notion
de structure de Hodge mixte et les r´ esultats fondamentaux de Deligne [Del4] et
[Del5] sur l’existence d’une telle structure sur les vari´ et´ es alg´ ebriques qui ne sont
pas n´ ecessairement compactes ni lisses. Ensuite nous donnerons une description de
la structure limite en r´ esumant quelques r´ esultats importants qui se trouvent dans
les articles [S] et [Cl]. Le §4 se termine par une description des faisceaux des cycles
proches et ´ evanescents qui est essentielle pour comprendre le travail de Saito [Sa1]
sur les modules de Hodge, travail tr` es partiellement esquiss´ e dans le §6.
Dans le §5 nous r´ esumons quelques r´ esultats r´ ecents de Simpson sur les fibr´ es