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J. Bertin, Ch. Peters, Variations de structures de Hodge
Le texte est divis´ e en deux parties non ind´ ependantes. La partie I consacr´ ee
aux d´ eveloppements g´ en´ eraux sur les variations de structures de Hodge (chapitre 1
` a 6) et la partie II qui poursuit sur les vari´ et´ es de Calabi-Yau et la sym´ etrie miroir.
Pour aider le lecteur nous avons fait d´ ebuter chaque chapitre par un court r´ esum´ e.
Situons maintenant le contenu de ces notes dans leur contexte. Les variations
de structures de Hodge apparaissent naturellement lorsque, au lieu d’avoir une
vari´ et´ e alg´ ebrique, par exemple donn´ ee par une ´ equation homog` ene (hypersurface)
{f = 0}, on consid` ere une famille de vari´ et´ es alg´ ebriques, par exemple lorsque
l’´ equation d´ epend de param` etres (variables additionnelles). Pr´ ecis´ ement, dans ces
notes, une famille sera une application holomorphe f : X → S telle que X ⊂ P
n ×S
et f , la restriction ` a X de la projection sur S, ´ etant partout de rang maximal. Les
fibres X s = f
−1 (s) sont des vari´ et´ es projectives lisses, et on sait par le texte ci-joint
de Demailly [Dem] que chaque espace vectoriel H
w (X s , C) porte une structure de
Hodge de poids w, c’est le r´ esultat fondamental de la th´ eorie de Hodge. On sait
aussi (loc. cit.§10) que H
w (X s , C) est la fibre d’un fibr´ e vectoriel holomorphe H sur
S ; il est donc naturel et fondamental d’´ etudier le comportement de la structure de
Hodge d´ efinie sur H
w (X s , C), lorsque s ∈ S varie, c’est-` a-dire globalement sur S.
D’une autre mani` ere, si on pense ` a la classe [ω(s)] d’une forme diff´ erentielle ferm´ ee
ω(s) comme d´ ependant du param` etre s, et si γ est un cycle de dimension (r´ eelle)
w dans une fibre X s 0 , qu’on peut voir comme un cycle sur toute fibre voisine X s de
X s 0 du fait de la trivialit´ e locale topologique de la famille, il est alors possible de
consid´ erer la p´ eriode de ω, c’est-` a-dire la fonction
γ
ω. Pour ´ etudier la variation
des p´ eriodes par rapport ` a s, il est n´ ecessaire de d´ eriver : d
ds
γ
ω
. Le cycle ´ etant
fix´ e, on veut d´ eriver sous le signe somme. Cela sera justifi´ e par l’existence d’une
connexion, la connexion de Gauss-Manin qui conduira ` a la r` egle de d´ erivation :
d
ds
γ
ω(s) =
γ
∇ d
ds
ω(s)
∇ d
ds
´ etant la d´ eriv´ ee covariante dans la direction de
d
ds .
Dans le §10 de [Dem], il est prouv´ e aussi que le fibr´ e H
w est le fibr´ e associ´ e
au syst` eme localement constant
s∈S H
w (X s , C), il est donc plat ; la connexion
plate r´ esultante est la connexion de Gauss-Manin. De plus, si au lieu des sousespaces H
p,q (X s ), on consid` ere les sous-espaces F
p H
w (S s , C) = ⊕ rp H
r,w−r (X s )
de la filtration de Hodge, alors ces sous-espaces sont les fibres d’un sous-fibr´ e
holomorphe F
p de H
w , d´ efinissant la filtration F
• de H
w . Le fibr´ e H
w ´ equip´ e
de cette filtration de Hodge et de la connexion de Gauss-Manin est l’exemple
fondamental d’une variation de structures de Hodge, notion introduite par Griffiths
dans [Grif1].
Ainsi, dans le paragraphe 1 nous donnons la construction d´ etaill´ ee des fibr´ es
de Hodge, comme cons´ equence de la d´ eg´ en´ erescence de la suite spectrale de Hodge
vers De Rham (voir le texte ci-joint d’Illusie) dans le cadre g´ en´ eral des vari´ et´ es
alg´ ebriques non n´ ecessairement complexes.
Dans le §2 nous construisons la connexion de Gauss-Manin et nous prouvons
la propri´ et´ e de transversalit´ e. L’exposition de ce paragraphe est assez d´ etaill´ ee car
J. Bertin, Ch. Peters, Variations de structures de Hodge
Le texte est divis´ e en deux parties non ind´ ependantes. La partie I consacr´ ee
aux d´ eveloppements g´ en´ eraux sur les variations de structures de Hodge (chapitre 1
` a 6) et la partie II qui poursuit sur les vari´ et´ es de Calabi-Yau et la sym´ etrie miroir.
Pour aider le lecteur nous avons fait d´ ebuter chaque chapitre par un court r´ esum´ e.
Situons maintenant le contenu de ces notes dans leur contexte. Les variations
de structures de Hodge apparaissent naturellement lorsque, au lieu d’avoir une
vari´ et´ e alg´ ebrique, par exemple donn´ ee par une ´ equation homog` ene (hypersurface)
{f = 0}, on consid` ere une famille de vari´ et´ es alg´ ebriques, par exemple lorsque
l’´ equation d´ epend de param` etres (variables additionnelles). Pr´ ecis´ ement, dans ces
notes, une famille sera une application holomorphe f : X → S telle que X ⊂ P
n ×S
et f , la restriction ` a X de la projection sur S, ´ etant partout de rang maximal. Les
fibres X s = f
−1 (s) sont des vari´ et´ es projectives lisses, et on sait par le texte ci-joint
de Demailly [Dem] que chaque espace vectoriel H
w (X s , C) porte une structure de
Hodge de poids w, c’est le r´ esultat fondamental de la th´ eorie de Hodge. On sait
aussi (loc. cit.§10) que H
w (X s , C) est la fibre d’un fibr´ e vectoriel holomorphe H sur
S ; il est donc naturel et fondamental d’´ etudier le comportement de la structure de
Hodge d´ efinie sur H
w (X s , C), lorsque s ∈ S varie, c’est-` a-dire globalement sur S.
D’une autre mani` ere, si on pense ` a la classe [ω(s)] d’une forme diff´ erentielle ferm´ ee
ω(s) comme d´ ependant du param` etre s, et si γ est un cycle de dimension (r´ eelle)
w dans une fibre X s 0 , qu’on peut voir comme un cycle sur toute fibre voisine X s de
X s 0 du fait de la trivialit´ e locale topologique de la famille, il est alors possible de
consid´ erer la p´ eriode de ω, c’est-` a-dire la fonction
γ
ω. Pour ´ etudier la variation
des p´ eriodes par rapport ` a s, il est n´ ecessaire de d´ eriver : d
ds
γ
ω
. Le cycle ´ etant
fix´ e, on veut d´ eriver sous le signe somme. Cela sera justifi´ e par l’existence d’une
connexion, la connexion de Gauss-Manin qui conduira ` a la r` egle de d´ erivation :
d
ds
γ
ω(s) =
γ
∇ d
ds
ω(s)
∇ d
ds
´ etant la d´ eriv´ ee covariante dans la direction de
d
ds .
Dans le §10 de [Dem], il est prouv´ e aussi que le fibr´ e H
w est le fibr´ e associ´ e
au syst` eme localement constant
s∈S H
w (X s , C), il est donc plat ; la connexion
plate r´ esultante est la connexion de Gauss-Manin. De plus, si au lieu des sousespaces H
p,q (X s ), on consid` ere les sous-espaces F
p H
w (S s , C) = ⊕ rp H
r,w−r (X s )
de la filtration de Hodge, alors ces sous-espaces sont les fibres d’un sous-fibr´ e
holomorphe F
p de H
w , d´ efinissant la filtration F
• de H
w . Le fibr´ e H
w ´ equip´ e
de cette filtration de Hodge et de la connexion de Gauss-Manin est l’exemple
fondamental d’une variation de structures de Hodge, notion introduite par Griffiths
dans [Grif1].
Ainsi, dans le paragraphe 1 nous donnons la construction d´ etaill´ ee des fibr´ es
de Hodge, comme cons´ equence de la d´ eg´ en´ erescence de la suite spectrale de Hodge
vers De Rham (voir le texte ci-joint d’Illusie) dans le cadre g´ en´ eral des vari´ et´ es
alg´ ebriques non n´ ecessairement complexes.
Dans le §2 nous construisons la connexion de Gauss-Manin et nous prouvons
la propri´ et´ e de transversalit´ e. L’exposition de ce paragraphe est assez d´ etaill´ ee car