Variations de structures de Hodge,
vari´ et´ es de Calabi-Yau
et sym´ etrie miroir
Jos´ e Bertin, Chris Peters
Universit´ e de Grenoble I
Institut Fourier, BP 74
38402 Saint-Martin d’H` eres, France
0. Introduction
L’objet de ces notes est de proposer une introduction assez d´ etaill´ ee ` a la partie
la plus ´ el´ ementaire de la th´ eorie des variations de structures de Hodge avec des
indications br` eves sur les d´ eveloppements les plus r´ ecents. Pour motiver et illustrer
cette ´ etude, il nous a sembl´ e pertinent d’exposer les grandes lignes d’un chapitre
excitant et nouveau de g´ eom´ etrie alg´ ebrique : les vari´ et´ es de Calabi-Yau et la
sym´ etrie miroir, en mettant surtout l’accent sur les questions qui v´ eritablement
rel` event des structures de Hodge et leurs variations. Cette th´ eorie issue des
r´ eflexions d’un groupe de physiciens, conduit entre autre choses ` a des pr´ edictions
remarquables sur le nombre de courbes rationnelles, et mˆ eme de tout genre, trac´ ees
sur une classe de vari´ et´ es de dimension trois.
Le texte s’adresse en priorit´ e ` a des ´ etudiants, ou math´ ematiciens non sp´ ecialistes, mais qui cependant ont une certaine familiarit´ e avec les techniques usuelles
de la g´ eom´ etrie alg´ ebrique ou analytique complexe. Cela est particuli` erement clair
dans le premier chapitre o` u le cadre retenu, assez g´ en´ eral, est alternativement celui
des sch´ emas et des vari´ et´ es analytiques. Le langage de base utilis´ e pour formuler et
prouver les r´ esultats est naturellement celui de l’alg` ebre homologique, ` a partir des
notions de cohomologie et d’hypercohomologie des faisceaux. Le lecteur trouvera
dans le texte ci-joint d’Illusie [Ill] un expos´ e succinct mais largement suffisant.
Il doit ˆ etre signal´ e au lecteur que plusieurs excellents textes existent dans la
litt´ erature qui proposent une introduction ` a un aspect ou ` a un autre de la th´ eorie
des variations de structure de Hodge, citons par exemple les plus classiques [Co-G],
[G-S], [P-S] et, plus r´ ecemment [B-Z], avec tout naturellement l’article fondamental
de Schmid [S]. Nous esp´ erons cependant que parall` element ` a ces textes, nos notes
pourront ` a l’occasion rendre quelques services. Sur le th` eme de la seconde partie,
beaucoup de textes traitant du sujet, ´ ecrits dans le “style de la physique” sont d’un
acc` es malais´ e pour un math´ ematicien. On peut souhaiter de mˆ eme que nos notes
apportent un compl´ ement utile aux textes r´ ecents de M. Kontsevich [K1], [K2], D.
Morrison [Mor 1] et C. Voisin [V] qui traitent aussi des aspects math´ ematiques du
sujet.
vari´ et´ es de Calabi-Yau
et sym´ etrie miroir
Jos´ e Bertin, Chris Peters
Universit´ e de Grenoble I
Institut Fourier, BP 74
38402 Saint-Martin d’H` eres, France
0. Introduction
L’objet de ces notes est de proposer une introduction assez d´ etaill´ ee ` a la partie
la plus ´ el´ ementaire de la th´ eorie des variations de structures de Hodge avec des
indications br` eves sur les d´ eveloppements les plus r´ ecents. Pour motiver et illustrer
cette ´ etude, il nous a sembl´ e pertinent d’exposer les grandes lignes d’un chapitre
excitant et nouveau de g´ eom´ etrie alg´ ebrique : les vari´ et´ es de Calabi-Yau et la
sym´ etrie miroir, en mettant surtout l’accent sur les questions qui v´ eritablement
rel` event des structures de Hodge et leurs variations. Cette th´ eorie issue des
r´ eflexions d’un groupe de physiciens, conduit entre autre choses ` a des pr´ edictions
remarquables sur le nombre de courbes rationnelles, et mˆ eme de tout genre, trac´ ees
sur une classe de vari´ et´ es de dimension trois.
Le texte s’adresse en priorit´ e ` a des ´ etudiants, ou math´ ematiciens non sp´ ecialistes, mais qui cependant ont une certaine familiarit´ e avec les techniques usuelles
de la g´ eom´ etrie alg´ ebrique ou analytique complexe. Cela est particuli` erement clair
dans le premier chapitre o` u le cadre retenu, assez g´ en´ eral, est alternativement celui
des sch´ emas et des vari´ et´ es analytiques. Le langage de base utilis´ e pour formuler et
prouver les r´ esultats est naturellement celui de l’alg` ebre homologique, ` a partir des
notions de cohomologie et d’hypercohomologie des faisceaux. Le lecteur trouvera
dans le texte ci-joint d’Illusie [Ill] un expos´ e succinct mais largement suffisant.
Il doit ˆ etre signal´ e au lecteur que plusieurs excellents textes existent dans la
litt´ erature qui proposent une introduction ` a un aspect ou ` a un autre de la th´ eorie
des variations de structure de Hodge, citons par exemple les plus classiques [Co-G],
[G-S], [P-S] et, plus r´ ecemment [B-Z], avec tout naturellement l’article fondamental
de Schmid [S]. Nous esp´ erons cependant que parall` element ` a ces textes, nos notes
pourront ` a l’occasion rendre quelques services. Sur le th` eme de la seconde partie,
beaucoup de textes traitant du sujet, ´ ecrits dans le “style de la physique” sont d’un
acc` es malais´ e pour un math´ ematicien. On peut souhaiter de mˆ eme que nos notes
apportent un compl´ ement utile aux textes r´ ecents de M. Kontsevich [K1], [K2], D.
Morrison [Mor 1] et C. Voisin [V] qui traitent aussi des aspects math´ ematiques du
sujet.