8. Appendice : parall´ elisabilit´ e et ordinarit´ e
165
Cette condition ´ equivaut ` a H
j (X
′ , F ∗ BΩ
i
X/k ) = 0 pour tout (i, j). Rappelons
(3.6) que F ∗ BΩ
i
X/k = B
i F ∗ Ω
•
X/k et F ∗ ZΩ
i
X/k = Z
i F ∗ Ω
•
X/k sont des O X ′ -modules
localement libres de type fini.
8.5. Pour un k-sch´ ema propre et lisse X donn´ e, il existe un lien, mis en ´ evidence
par Mehta et Srinivas [Me-Sr], entre les propri´ et´ es d’ˆ etre DR-d´ ecomposable,
parall´ elisable, et ordinaire. Ce lien s’exprime par le biais d’une notion voisine de
celle de DR-d´ ecomposabilit´ e, introduite ant´ erieurement par Mehta et Ramanathan
[Me-Ra], qui est la suivante. On dit qu’un k-sch´ ema lisse X est Frobeniusd´ ecompos´ e (“Frobenius-split”) si l’homomorphisme canonique O X ′ −→ F ∗ O X
admet une r´ etraction, i.e. la suite exacte de O X ′ -modules (cf. 3.5)
(8.5.1)
0 −→ O X ′ −→ F ∗ O X
d
−→ F ∗ BΩ
1
X/k −→ 0
est scind´ ee. Observons d’abord que si X est Frobenius-d´ ecompos´ e, X est relevable
sur W 2 (ou, ce qui revient au mˆ eme (5.9 (1) (a)), τ •
X/k est d´ ecomposable) :
l’obstruction au rel` evement, qui est la classe de l’extension
0 −→ O X ′ −→ F ∗ O X
d
−→ F ∗ ZΩ
1
X/k
C
−→ Ω
1
X ′ /k −→ 0,
compos´ ee de (8.5.1) et de l’extension
(8.5.2)
0 −→ F ∗ BΩ
1
X/k −→ F ∗ ZΩ
1
X/k
C
−→ Ω
1
X ′ /k −→ 0,
est nulle. On ignore en g´ en´ eral si “Frobenius-d´ ecompos´ e” entraˆ ıne “DR-d´ ecomposable”. C’est le cas, d’apr` es 8.3, si X est parall´ elisable. Mais la r´ eciproque est
fausse. On a en effet le r´ esultat suivant ([Me-Sr] 1.1) : si X est un k-sch´ ema propre
et lisse, parall´ elisable, les conditions suivantes sont ´ equivalentes :
(a) X est Frobenius d´ ecompos´ e ;
(b) l’extension (8.5.2) est scind´ ee ;
(c) X est ordinaire ;
(d) (pour X purement de dimension d) l’homomorphisme F
∗ : H
d (X
′ , O X ′ ) −→
H
d (X, O X ) induit par Frobenius est un isomorphisme.
En particulier, si X est ordinaire et parall´ elisable, X se rel` eve sur W 2 (NoriSrinivas ([Me-Sr] Appendix) montrent en fait que, pour X projectif, X se rel` eve
en un sch´ ema projectif lisse sur W ). En outre – c’est le r´ esultat principal de [Me-Sr]
– si k est alg´ ebriquement clos et X connexe, il existe un revˆ etement ´ etale galoisien
Y −→ X d’ordre une puissance de p tel que Y soit une vari´ et´ e ab´ elienne.
Si X est projectif et lisse sur k, ordinaire et parall´ elisable, Nori-Srinivas (loc.
cit.) montrent plus pr´ ecis´ ement qu’il existe un unique couple (Z, F Z ), o` u Z est un
rel` evement (projectif et lisse) de X sur W 2 (resp. W n (n 2 donn´ e), resp. W )
et F Z : Z −→ Z
′ un rel` evement de F : X −→ X
′ , o` u Z
′ est l’image inverse de
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Cette condition ´ equivaut ` a H
j (X
′ , F ∗ BΩ
i
X/k ) = 0 pour tout (i, j). Rappelons
(3.6) que F ∗ BΩ
i
X/k = B
i F ∗ Ω
•
X/k et F ∗ ZΩ
i
X/k = Z
i F ∗ Ω
•
X/k sont des O X ′ -modules
localement libres de type fini.
8.5. Pour un k-sch´ ema propre et lisse X donn´ e, il existe un lien, mis en ´ evidence
par Mehta et Srinivas [Me-Sr], entre les propri´ et´ es d’ˆ etre DR-d´ ecomposable,
parall´ elisable, et ordinaire. Ce lien s’exprime par le biais d’une notion voisine de
celle de DR-d´ ecomposabilit´ e, introduite ant´ erieurement par Mehta et Ramanathan
[Me-Ra], qui est la suivante. On dit qu’un k-sch´ ema lisse X est Frobeniusd´ ecompos´ e (“Frobenius-split”) si l’homomorphisme canonique O X ′ −→ F ∗ O X
admet une r´ etraction, i.e. la suite exacte de O X ′ -modules (cf. 3.5)
(8.5.1)
0 −→ O X ′ −→ F ∗ O X
d
−→ F ∗ BΩ
1
X/k −→ 0
est scind´ ee. Observons d’abord que si X est Frobenius-d´ ecompos´ e, X est relevable
sur W 2 (ou, ce qui revient au mˆ eme (5.9 (1) (a)), τ •
X/k est d´ ecomposable) :
l’obstruction au rel` evement, qui est la classe de l’extension
0 −→ O X ′ −→ F ∗ O X
d
−→ F ∗ ZΩ
1
X/k
C
−→ Ω
1
X ′ /k −→ 0,
compos´ ee de (8.5.1) et de l’extension
(8.5.2)
0 −→ F ∗ BΩ
1
X/k −→ F ∗ ZΩ
1
X/k
C
−→ Ω
1
X ′ /k −→ 0,
est nulle. On ignore en g´ en´ eral si “Frobenius-d´ ecompos´ e” entraˆ ıne “DR-d´ ecomposable”. C’est le cas, d’apr` es 8.3, si X est parall´ elisable. Mais la r´ eciproque est
fausse. On a en effet le r´ esultat suivant ([Me-Sr] 1.1) : si X est un k-sch´ ema propre
et lisse, parall´ elisable, les conditions suivantes sont ´ equivalentes :
(a) X est Frobenius d´ ecompos´ e ;
(b) l’extension (8.5.2) est scind´ ee ;
(c) X est ordinaire ;
(d) (pour X purement de dimension d) l’homomorphisme F
∗ : H
d (X
′ , O X ′ ) −→
H
d (X, O X ) induit par Frobenius est un isomorphisme.
En particulier, si X est ordinaire et parall´ elisable, X se rel` eve sur W 2 (NoriSrinivas ([Me-Sr] Appendix) montrent en fait que, pour X projectif, X se rel` eve
en un sch´ ema projectif lisse sur W ). En outre – c’est le r´ esultat principal de [Me-Sr]
– si k est alg´ ebriquement clos et X connexe, il existe un revˆ etement ´ etale galoisien
Y −→ X d’ordre une puissance de p tel que Y soit une vari´ et´ e ab´ elienne.
Si X est projectif et lisse sur k, ordinaire et parall´ elisable, Nori-Srinivas (loc.
cit.) montrent plus pr´ ecis´ ement qu’il existe un unique couple (Z, F Z ), o` u Z est un
rel` evement (projectif et lisse) de X sur W 2 (resp. W n (n 2 donn´ e), resp. W )
et F Z : Z −→ Z
′ un rel` evement de F : X −→ X
′ , o` u Z
′ est l’image inverse de