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L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
Z par l’automorphisme de Frobenius de W 2 (resp. W n , resp. W ). L’existence et
l’unicit´ e de ce rel` evement, dit canonique, avaient ´ et´ e ´ etablies pour la premi` ere fois
par Serre-Tate [Se-Ta] dans le cas des vari´ et´ es ab´ eliennes. Comme on l’a signal´ e
en 5.5.1, ce r´ esultat admet une r´ eciproque, sans hypoth` ese de parall´ elisabilit´ e :
Proposition 8.6. Soit X un k-sch´ ema propre et lisse. On suppose qu’il existe des
sch´ emas Z et Z
′ relevant respectivement X et X
′ sur W 2 et un W 2 -morphisme
G : Z −→ Z
′ relevant F : X −→ X
′ 22 . Alors X est ordinaire.
Ce r´ esultat a ´ et´ e obtenu ind´ ependamment par Nakkajima [Na].
8.7. Prouvons 8.6. Soient G : Z −→ Z’ un rel` evement de F et ϕ = ϕ G :
Ω
i
X ′ [−i] −→ F ∗ Ω
•
X l’homomorphisme de complexes associ´ e, d´ efini en (5.3.1)
(on omet /k de la notation des diff´ erentielles). Cet homomorphisme envoie Ω
i
X ′
dans F ∗ ZΩ
i
X (notations de 8.4) et scinde la suite exacte (cf. 3.5)
(8.7.1)
0 −→ F ∗ BΩ
i
X −→ F ∗ ZΩ
i
X
C
−→ Ω
i
X ′ −→ 0.
Prouvons, par r´ ecurrence descendante sur i, que H
∗ (X, BΩ
i
X ) = 0 (i.e. que
H
n (X, BΩ
i
X ) = 0 pour tout n). Pour i > dim X, BΩ
i
X = 0. Fixons i, supposons
prouv´ e H
∗ (X, BΩ
j
X ) = 0 pour j i, et prouvons que H
∗ (X, BΩ
i−1
X ) = 0. Par la
suite exacte de cohomologie de la suite exacte
(8.7.2)
0 −→ F ∗ ZΩ
i−1
X −→ F ∗ Ω
i−1
X
d
−→ F ∗ BΩ
i
X −→ 0,
l’hypoth` ese de r´ ecurrence entraˆ ıne que, pour tout n, on a
H
n (X
′ , F ∗ ZΩ
i−1
X )
∼
−→ H
n (X, Ω
i−1
X ),
et donc
(8.7.3)
dim H
n (X
′ , F ∗ ZΩ
i−1
X ) = dim H
n (X, Ω
i−1
X ) = dim H
n (X
′ , Ω
i−1
X ′ ).
La suite (8.7.1) (relative ` a i − 1) ´ etant scind´ ee, la suite exacte de cohomologie
donne des suites exactes courtes
0 −→ H
n (X
′ , F ∗ BΩ
i−1
X ) −→ H
n (X
′ , F ∗ ZΩ
i−1
X )
C
−→ H
n (X
′ , Ω
i−1
X ′ ) −→ 0.
L’´ egalit´ e (8.7.3) entraˆ ıne que, dans celles-ci, C est un isomorphisme, et donc que
H
n (X
′ , F ∗ BΩ
i−1
X ) = 0, ce qui ach` eve la d´ emonstration.
Remarque 8.8. Le lecteur familier avec les structures logarithmiques aura not´ e
que 8.6 et sa d´ emonstration s’´ etendent au cas o` u k est remplac´ e par un point
logarithmique k = (k, M ) de point sous-jacent k et X par un log sch´ ema
X = (X, L) log lisse et de type de Cartier sur k ([Ka2]), propre sur k ; si l’on
suppose que (X, F ) se rel` eve sur W 2 (k) (cf. [Hy-Ka] 3.1), alors X est ordinaire,
i.e. H
j (X, Bω
i
X ) = 0 pour tout i et tout j.
22 On ne suppose pas que Z ′ est l’image inverse de Z par le Frobenius de W 2 .
L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
Z par l’automorphisme de Frobenius de W 2 (resp. W n , resp. W ). L’existence et
l’unicit´ e de ce rel` evement, dit canonique, avaient ´ et´ e ´ etablies pour la premi` ere fois
par Serre-Tate [Se-Ta] dans le cas des vari´ et´ es ab´ eliennes. Comme on l’a signal´ e
en 5.5.1, ce r´ esultat admet une r´ eciproque, sans hypoth` ese de parall´ elisabilit´ e :
Proposition 8.6. Soit X un k-sch´ ema propre et lisse. On suppose qu’il existe des
sch´ emas Z et Z
′ relevant respectivement X et X
′ sur W 2 et un W 2 -morphisme
G : Z −→ Z
′ relevant F : X −→ X
′ 22 . Alors X est ordinaire.
Ce r´ esultat a ´ et´ e obtenu ind´ ependamment par Nakkajima [Na].
8.7. Prouvons 8.6. Soient G : Z −→ Z’ un rel` evement de F et ϕ = ϕ G :
Ω
i
X ′ [−i] −→ F ∗ Ω
•
X l’homomorphisme de complexes associ´ e, d´ efini en (5.3.1)
(on omet /k de la notation des diff´ erentielles). Cet homomorphisme envoie Ω
i
X ′
dans F ∗ ZΩ
i
X (notations de 8.4) et scinde la suite exacte (cf. 3.5)
(8.7.1)
0 −→ F ∗ BΩ
i
X −→ F ∗ ZΩ
i
X
C
−→ Ω
i
X ′ −→ 0.
Prouvons, par r´ ecurrence descendante sur i, que H
∗ (X, BΩ
i
X ) = 0 (i.e. que
H
n (X, BΩ
i
X ) = 0 pour tout n). Pour i > dim X, BΩ
i
X = 0. Fixons i, supposons
prouv´ e H
∗ (X, BΩ
j
X ) = 0 pour j i, et prouvons que H
∗ (X, BΩ
i−1
X ) = 0. Par la
suite exacte de cohomologie de la suite exacte
(8.7.2)
0 −→ F ∗ ZΩ
i−1
X −→ F ∗ Ω
i−1
X
d
−→ F ∗ BΩ
i
X −→ 0,
l’hypoth` ese de r´ ecurrence entraˆ ıne que, pour tout n, on a
H
n (X
′ , F ∗ ZΩ
i−1
X )
∼
−→ H
n (X, Ω
i−1
X ),
et donc
(8.7.3)
dim H
n (X
′ , F ∗ ZΩ
i−1
X ) = dim H
n (X, Ω
i−1
X ) = dim H
n (X
′ , Ω
i−1
X ′ ).
La suite (8.7.1) (relative ` a i − 1) ´ etant scind´ ee, la suite exacte de cohomologie
donne des suites exactes courtes
0 −→ H
n (X
′ , F ∗ BΩ
i−1
X ) −→ H
n (X
′ , F ∗ ZΩ
i−1
X )
C
−→ H
n (X
′ , Ω
i−1
X ′ ) −→ 0.
L’´ egalit´ e (8.7.3) entraˆ ıne que, dans celles-ci, C est un isomorphisme, et donc que
H
n (X
′ , F ∗ BΩ
i−1
X ) = 0, ce qui ach` eve la d´ emonstration.
Remarque 8.8. Le lecteur familier avec les structures logarithmiques aura not´ e
que 8.6 et sa d´ emonstration s’´ etendent au cas o` u k est remplac´ e par un point
logarithmique k = (k, M ) de point sous-jacent k et X par un log sch´ ema
X = (X, L) log lisse et de type de Cartier sur k ([Ka2]), propre sur k ; si l’on
suppose que (X, F ) se rel` eve sur W 2 (k) (cf. [Hy-Ka] 3.1), alors X est ordinaire,
i.e. H
j (X, Bω
i
X ) = 0 pour tout i et tout j.
22 On ne suppose pas que Z ′ est l’image inverse de Z par le Frobenius de W 2 .