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L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
Il suffit de le v´ erifier pour ω de la forme ω 1 ⊗ · · · ⊗ ω n , o` u ω i est une section
locale de Ω
1
X ′ /S . Par fonctorialit´ e, en les E i ∈ D(X
′ ), du produit
H
1 E 1 ⊗ · · · ⊗ H
1 E n −→ H
n (E 1
L
⊗ · · ·
L
⊗ E n ),
a 1 ⊗ · · · ⊗ a n −→ a 1 · · · a n ,
on a
H
n ((ϕ
1 )
L
⊗ n )(ω 1 ⊗ · · · ⊗ ω n ) = (H
1 ϕ
1 )(ω 1 ) · · · (H
1 ϕ
1 )(ω n )
dans H
n ((F ∗ Ω
•
X/S )
L
⊗ n ). Comme H
1 ϕ
1 = C
−1 , il s’ensuit que
H
n ψ
n (ω 1 ⊗ · · · ⊗ ω n ) = C
−1 (ω 1 ) ∧ · · · ∧ C
−1 (ω n )
dans H
n F ∗ Ω
•
X/S , et donc que
H
n ψ
n (ω 1 ⊗ · · · ⊗ ω n ) = C
−1 (ω 1 ∧ · · · ∧ ω n ) = C
−1 ◦ π(ω 1 ⊗ · · · ⊗ ω n )
par la propri´ et´ e multiplicative de l’isomorphisme de Cartier.
Prouvons maintenant 8.1. Choisissons, pour chaque n, une section s du produit
π : (Ω
1
X/k )
⊗ n −→ Ω
n
X/k . Notons encore π et s les morphismes relatifs ` a X
′ qui
s’en d´ eduisent. Choisissons (cf. 3.9) un rel` evement Z
′ de X
′ sur W 2 , et d´ efinissons
ψ
n comme en 8.2, avec ϕ
1 = ϕ
1
Z ′ . Notons
ϕ
n : Ω
n
X ′ /k [−n] −→ F ∗ Ω
•
X/S
le morphisme compos´ e ψ
n ◦ s (o` u s d´ esigne encore, par abus, la section correspondante de (Ω
1
X/k [−1])
⊗ n −→ Ω
n
X/k [−n]). Il s’agit de v´ erifier que H
n ϕ
n = C
−1 . Or,
d’apr` es 8.2, si a est une section locale de Ω
n
X ′ /k ,
H
n ϕ
n (a) = (H
n ψ
n )(sa) = C
−1 (πsa) = C
−1 (a),
ce qui ach` eve la d´ emonstration.
Corollaire 8.3. Soit X un k-sch´ ema lisse parall´ elisable, i.e. tel que le O X -module
Ω
1
X/k soit libre (de type fini). Alors, pour que X soit DR-d´ ecomposable, il faut et
il suffit que X se rel` eve sur W 2 .
Il suffit de prouver la suffisance. On peut supposer k alg´ ebriquement clos.
Choisissons un point rationnel x de X sur k et un isomorphisme α : Ω
1
X/k ≃ f
∗ E,
o` u f : X −→ Spec k est la projection et E est le k-espace vectoriel x
∗ (Ω
1
X/k ). Via
α, une section de l’homomorphisme surjectif E
⊗ n −→ Λ
n E se prolonge en une
section de (Ω
1
X/k )
⊗ n −→ Ω
n
X/k . On conclut grˆ ace ` a 8.1.
Rappelons (5.5.1) la d´ efinition suivante :
D´ efinition 8.4. Soit X un k-sch´ ema propre et lisse. On dit que X est ordinaire
si, pour tout (i, j), on a H
j (X, BΩ
i
X/k ) = 0, o` u BΩ
i
X/k = dΩ
i−1
X/k est le faisceau
des bords, en degr´ e i, du complexe de De Rham.
L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
Il suffit de le v´ erifier pour ω de la forme ω 1 ⊗ · · · ⊗ ω n , o` u ω i est une section
locale de Ω
1
X ′ /S . Par fonctorialit´ e, en les E i ∈ D(X
′ ), du produit
H
1 E 1 ⊗ · · · ⊗ H
1 E n −→ H
n (E 1
L
⊗ · · ·
L
⊗ E n ),
a 1 ⊗ · · · ⊗ a n −→ a 1 · · · a n ,
on a
H
n ((ϕ
1 )
L
⊗ n )(ω 1 ⊗ · · · ⊗ ω n ) = (H
1 ϕ
1 )(ω 1 ) · · · (H
1 ϕ
1 )(ω n )
dans H
n ((F ∗ Ω
•
X/S )
L
⊗ n ). Comme H
1 ϕ
1 = C
−1 , il s’ensuit que
H
n ψ
n (ω 1 ⊗ · · · ⊗ ω n ) = C
−1 (ω 1 ) ∧ · · · ∧ C
−1 (ω n )
dans H
n F ∗ Ω
•
X/S , et donc que
H
n ψ
n (ω 1 ⊗ · · · ⊗ ω n ) = C
−1 (ω 1 ∧ · · · ∧ ω n ) = C
−1 ◦ π(ω 1 ⊗ · · · ⊗ ω n )
par la propri´ et´ e multiplicative de l’isomorphisme de Cartier.
Prouvons maintenant 8.1. Choisissons, pour chaque n, une section s du produit
π : (Ω
1
X/k )
⊗ n −→ Ω
n
X/k . Notons encore π et s les morphismes relatifs ` a X
′ qui
s’en d´ eduisent. Choisissons (cf. 3.9) un rel` evement Z
′ de X
′ sur W 2 , et d´ efinissons
ψ
n comme en 8.2, avec ϕ
1 = ϕ
1
Z ′ . Notons
ϕ
n : Ω
n
X ′ /k [−n] −→ F ∗ Ω
•
X/S
le morphisme compos´ e ψ
n ◦ s (o` u s d´ esigne encore, par abus, la section correspondante de (Ω
1
X/k [−1])
⊗ n −→ Ω
n
X/k [−n]). Il s’agit de v´ erifier que H
n ϕ
n = C
−1 . Or,
d’apr` es 8.2, si a est une section locale de Ω
n
X ′ /k ,
H
n ϕ
n (a) = (H
n ψ
n )(sa) = C
−1 (πsa) = C
−1 (a),
ce qui ach` eve la d´ emonstration.
Corollaire 8.3. Soit X un k-sch´ ema lisse parall´ elisable, i.e. tel que le O X -module
Ω
1
X/k soit libre (de type fini). Alors, pour que X soit DR-d´ ecomposable, il faut et
il suffit que X se rel` eve sur W 2 .
Il suffit de prouver la suffisance. On peut supposer k alg´ ebriquement clos.
Choisissons un point rationnel x de X sur k et un isomorphisme α : Ω
1
X/k ≃ f
∗ E,
o` u f : X −→ Spec k est la projection et E est le k-espace vectoriel x
∗ (Ω
1
X/k ). Via
α, une section de l’homomorphisme surjectif E
⊗ n −→ Λ
n E se prolonge en une
section de (Ω
1
X/k )
⊗ n −→ Ω
n
X/k . On conclut grˆ ace ` a 8.1.
Rappelons (5.5.1) la d´ efinition suivante :
D´ efinition 8.4. Soit X un k-sch´ ema propre et lisse. On dit que X est ordinaire
si, pour tout (i, j), on a H
j (X, BΩ
i
X/k ) = 0, o` u BΩ
i
X/k = dΩ
i−1
X/k est le faisceau
des bords, en degr´ e i, du complexe de De Rham.