8. Appendice : parall´ elisabilit´ e et ordinarit´ e
163
les d´ eveloppements r´ ecents de la th´ eorie des p´ eriodes p-adiques (cf. [I4] pour un
aper¸ cu).
Probl` eme 7.14. Avec les notations de 7.13, soit X un S-sch´ ema semi-stable, de
fibre D au point ferm´ e de S. Est-ce que τ •
D est d´ ecomposable (dans D(D
′ )) ?
Noter que la d´ ecomposabilit´ e de τ •
D ´ equivaut ` a celle de τ 1 F ∗ ω
•
D (mˆ eme
argument que dans l’´ etape C de la d´ emonstration de 5.1). La r´ eponse est oui
d’apr` es 5.5 si X est lisse sur S (NB. ce qui ´ etait appel´ e X (resp. S) en 5.5 est ici D
(resp. E)). La r´ eponse est encore oui (pour des raisons de trivialit´ e de cohomologie
(cf. 4.6 (a))) si X est affine, ou si X est de dimension relative 1. Mais le cas
g´ en´ eral est inconnu.
7.15. Enfin, en ce qui concerne les th´ eor` emes d’annulation, signalons qu’on ne sait
pas prouver, par des m´ ethodes de caract´ eristique p > 0, les r´ esultats classiques
de Grauert-Riemenschneider ou Kawamata-Viehweg. On ne sait pas non plus
g´ en´ eraliser 5.9 (5) en dimension > 2. Voir [E-V] pour une discussion de ces
questions.
8. Appendice : parall´ elisabilit´ e et ordinarit´ e
Dans ce num´ ero, k d´ esigne un corps parfait de caract´ eristique p > 0. On
note W n = W n (k) l’anneau des vecteurs de Witt de longueur n sur k. Nous
commencerons par donner une d´ emonstration du r´ esultat mentionn´ e en 7.11 :
Proposition 8.1. Soit X un k-sch´ ema lisse. Supposons que X se rel` eve sur W 2
et que, pour tout n 1, le morphisme produit (Ω
1
X/k )
⊗ n −→ Ω
n
X/k admette une
section. Alors X est DR-d´ ecomposable (7.9).
Nous utiliserons le lemme suivant :
Lemme 8.2. Soient S et T comme en 5.1, X un sch´ ema lisse sur S, Z
′ un
rel` evement (lisse) de X
′ sur T . Notons
ϕ
1 : Ω
1
X ′ /S [−1] −→ F ∗ Ω
•
X/S
l’homomorphisme ϕ
1
Z ′ de D(X
′ ) d´ efini dans l’´ etape B de la d´ emonstration de 5.1,
et, pour n 1,
ψ
n : (Ω
1
X ′ /S )
⊗ n [−n] −→ F ∗ Ω
•
X/S
l’homomorphisme compos´ e π ◦ (ϕ
1 )
L
⊗ n , o` u π : (F ∗ Ω
•
X/S )
L
⊗ n −→ F ∗ Ω
•
X/S est
l’homomorphisme produit. Notons ´ egalement π : (Ω
1
X ′ /S )
⊗ n −→ Ω
n
X ′ /S l’homomorphisme produit. Alors, pour toute section locale ω de (Ω
1
X ′ /S )
⊗ n , on a
H
n ψ
n (ω) = C
−1 ◦ π(ω),
o` u C
−1 : Ω
n
X ′ /S −→ H
n F ∗ Ω
•
X/S est l’isomorphisme de Cartier.
163
les d´ eveloppements r´ ecents de la th´ eorie des p´ eriodes p-adiques (cf. [I4] pour un
aper¸ cu).
Probl` eme 7.14. Avec les notations de 7.13, soit X un S-sch´ ema semi-stable, de
fibre D au point ferm´ e de S. Est-ce que τ •
D est d´ ecomposable (dans D(D
′ )) ?
Noter que la d´ ecomposabilit´ e de τ •
D ´ equivaut ` a celle de τ 1 F ∗ ω
•
D (mˆ eme
argument que dans l’´ etape C de la d´ emonstration de 5.1). La r´ eponse est oui
d’apr` es 5.5 si X est lisse sur S (NB. ce qui ´ etait appel´ e X (resp. S) en 5.5 est ici D
(resp. E)). La r´ eponse est encore oui (pour des raisons de trivialit´ e de cohomologie
(cf. 4.6 (a))) si X est affine, ou si X est de dimension relative 1. Mais le cas
g´ en´ eral est inconnu.
7.15. Enfin, en ce qui concerne les th´ eor` emes d’annulation, signalons qu’on ne sait
pas prouver, par des m´ ethodes de caract´ eristique p > 0, les r´ esultats classiques
de Grauert-Riemenschneider ou Kawamata-Viehweg. On ne sait pas non plus
g´ en´ eraliser 5.9 (5) en dimension > 2. Voir [E-V] pour une discussion de ces
questions.
8. Appendice : parall´ elisabilit´ e et ordinarit´ e
Dans ce num´ ero, k d´ esigne un corps parfait de caract´ eristique p > 0. On
note W n = W n (k) l’anneau des vecteurs de Witt de longueur n sur k. Nous
commencerons par donner une d´ emonstration du r´ esultat mentionn´ e en 7.11 :
Proposition 8.1. Soit X un k-sch´ ema lisse. Supposons que X se rel` eve sur W 2
et que, pour tout n 1, le morphisme produit (Ω
1
X/k )
⊗ n −→ Ω
n
X/k admette une
section. Alors X est DR-d´ ecomposable (7.9).
Nous utiliserons le lemme suivant :
Lemme 8.2. Soient S et T comme en 5.1, X un sch´ ema lisse sur S, Z
′ un
rel` evement (lisse) de X
′ sur T . Notons
ϕ
1 : Ω
1
X ′ /S [−1] −→ F ∗ Ω
•
X/S
l’homomorphisme ϕ
1
Z ′ de D(X
′ ) d´ efini dans l’´ etape B de la d´ emonstration de 5.1,
et, pour n 1,
ψ
n : (Ω
1
X ′ /S )
⊗ n [−n] −→ F ∗ Ω
•
X/S
l’homomorphisme compos´ e π ◦ (ϕ
1 )
L
⊗ n , o` u π : (F ∗ Ω
•
X/S )
L
⊗ n −→ F ∗ Ω
•
X/S est
l’homomorphisme produit. Notons ´ egalement π : (Ω
1
X ′ /S )
⊗ n −→ Ω
n
X ′ /S l’homomorphisme produit. Alors, pour toute section locale ω de (Ω
1
X ′ /S )
⊗ n , on a
H
n ψ
n (ω) = C
−1 ◦ π(ω),
o` u C
−1 : Ω
n
X ′ /S −→ H
n F ∗ Ω
•
X/S est l’isomorphisme de Cartier.