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L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
Le probl` eme 7.10, avec “relevable sur W 2 (k)” remplac´ e par “relevable sur
W (k)”, est tout aussi ouvert. Par contre, on ne peut remplacer “relevable sur
W (k)” par “relevable sur A”, o` u A est une extension totalement ramifi´ ee de W (k)
( = anneau de valuation discr` ete complet, fini et plat sur W (k), de corps r´ esiduel
k, et de degr´ e > 1 sur W (k)) : Lang [L] a en effet construit, en toute caract´ eristique
p > 0, une k-surface projective lisse X relevable sur un tel anneau A de degr´ e 2
sur W (k) telle que la suite spectrale de Hodge vers De Rham de X/k ne d´ eg´ en` ere
pas en E 1 .
7.12. Les ´ enonc´ es de d´ ecomposition auxquels on a fait allusion ` a la fin de 7.3
s’appliquent notamment ` a une courbe lisse S sur T = Spec k et ` a un sch´ ema X
sur S ayant r´ eduction semi-stable le long d’un diviseur ` a croisements normaux
E ⊂ S (donc ´ etale sur k), pourvu que certaines hypoth` eses de relevabilit´ e modulo
p
2 soient satisfaites. Plus pr´ ecis´ ement, si l’on suppose que :
(i) il existe un rel` evement (E
∼ ⊂ S
∼ ) de (E ⊂ S) sur W 2 = W 2 (k) (avec S
∼ lisse
et E
∼ diviseur ` a croisements normaux relatif, i.e. ´ etale sur W 2 ), admettant un
rel` evement F
∼ : S
∼ −→ S
∼ du Frobenius (absolu) de S tel que (F
∼ )
−1 (E
∼ ) =
pE
∼ 21
(ii) f se rel` eve en f
∼ : X
∼ −→ S
∼ ayant r´ eduction semi-stable le long de E
∼ , alors
τ •
X/S et τ •
D (o` u D = E × S X) sont d´ ecomposables, (et donc F ∗ ω
•
X/S
et F ∗ ω
•
D le sont aussi si X est de dimension relative < p sur S).
7.13. Le r´ esultat relatif ` a ω
•
D sugg` ere le probl` eme suivant en in´ egale caract´ eristique. D´ esignons maintenant par S le spectre de W = W (k), et E = Spec k
le point ferm´ e de S. Soit X un S-sch´ ema. Par analogie avec la d´ efinition donn´ ee
en 7.3, on dit que X a r´ eduction semi-stable si, localement pour la topologie ´ etale
(sur X et sur S), X est lisse sur le sous-sch´ ema de A
n
S = S[x 1 , . . . , x n ] d’´ equation
x 1 · · · x n = p. Supposons que X ait r´ eduction semi-stable. Alors X est un sch´ ema
r´ egulier, sa fibre X K au point g´ en´ erique Spec K de S (K = le corps des fractions de
W ) est lisse, et sa fibre D = E × S X au point ferm´ e est un “diviseur ` a croisements
normaux absolu” dans X. Dans cette situation, on d´ efinit un complexe ω
•
X/S analogue ` a (7.3.1), qui est l’unique prolongement, ` a composantes localement libres de
type fini, du complexe de De Rham de U sur S, o` u U est l’ouvert de lissit´ e de X
sur S ; si X = S[x 1 , . . . , x n ]/(x 1 · · · x n − p), le O X -module ω
1
X/S , consid´ er´ e comme
sous-faisceau de Ω
1
X K /K , s’identifie ` a (
O X dx i /x i )/O X (
dx i /x i ). Le complexe
ω
•
D , d´ efini par la formule (7.3.6), est ` a composantes localement libres de type fini
sur D, et co¨ ıncide avec le complexe de De Rham Ω
•
D/k sur l’ouvert de lissit´ e de D.
On a ω
i
X/S = Λ
i ω
1
X/S et ω
i
D = Λ
i ω
1
D . D’apr` es un r´ esultat de Hyodo [Hy] (g´ en´ eralis´ e
par Kato dans [Ka2]), le complexe ω
•
D donne lieu ` a un isomorphisme de Cartier
C
−1 : ω
i
D ′ ≃ H
i F ∗ ω
•
D . Les complexes ω
•
X/S et ω
•
D jouent un rˆ ole important dans
21 Cette notation d´ esigne le diviseur d´ eduit de E ∼ par ´ el´ evation `
a la puissance p-i` eme de ses
´ equations locales.
L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
Le probl` eme 7.10, avec “relevable sur W 2 (k)” remplac´ e par “relevable sur
W (k)”, est tout aussi ouvert. Par contre, on ne peut remplacer “relevable sur
W (k)” par “relevable sur A”, o` u A est une extension totalement ramifi´ ee de W (k)
( = anneau de valuation discr` ete complet, fini et plat sur W (k), de corps r´ esiduel
k, et de degr´ e > 1 sur W (k)) : Lang [L] a en effet construit, en toute caract´ eristique
p > 0, une k-surface projective lisse X relevable sur un tel anneau A de degr´ e 2
sur W (k) telle que la suite spectrale de Hodge vers De Rham de X/k ne d´ eg´ en` ere
pas en E 1 .
7.12. Les ´ enonc´ es de d´ ecomposition auxquels on a fait allusion ` a la fin de 7.3
s’appliquent notamment ` a une courbe lisse S sur T = Spec k et ` a un sch´ ema X
sur S ayant r´ eduction semi-stable le long d’un diviseur ` a croisements normaux
E ⊂ S (donc ´ etale sur k), pourvu que certaines hypoth` eses de relevabilit´ e modulo
p
2 soient satisfaites. Plus pr´ ecis´ ement, si l’on suppose que :
(i) il existe un rel` evement (E
∼ ⊂ S
∼ ) de (E ⊂ S) sur W 2 = W 2 (k) (avec S
∼ lisse
et E
∼ diviseur ` a croisements normaux relatif, i.e. ´ etale sur W 2 ), admettant un
rel` evement F
∼ : S
∼ −→ S
∼ du Frobenius (absolu) de S tel que (F
∼ )
−1 (E
∼ ) =
pE
∼ 21
(ii) f se rel` eve en f
∼ : X
∼ −→ S
∼ ayant r´ eduction semi-stable le long de E
∼ , alors
τ •
X/S et τ •
D (o` u D = E × S X) sont d´ ecomposables, (et donc F ∗ ω
•
X/S
et F ∗ ω
•
D le sont aussi si X est de dimension relative < p sur S).
7.13. Le r´ esultat relatif ` a ω
•
D sugg` ere le probl` eme suivant en in´ egale caract´ eristique. D´ esignons maintenant par S le spectre de W = W (k), et E = Spec k
le point ferm´ e de S. Soit X un S-sch´ ema. Par analogie avec la d´ efinition donn´ ee
en 7.3, on dit que X a r´ eduction semi-stable si, localement pour la topologie ´ etale
(sur X et sur S), X est lisse sur le sous-sch´ ema de A
n
S = S[x 1 , . . . , x n ] d’´ equation
x 1 · · · x n = p. Supposons que X ait r´ eduction semi-stable. Alors X est un sch´ ema
r´ egulier, sa fibre X K au point g´ en´ erique Spec K de S (K = le corps des fractions de
W ) est lisse, et sa fibre D = E × S X au point ferm´ e est un “diviseur ` a croisements
normaux absolu” dans X. Dans cette situation, on d´ efinit un complexe ω
•
X/S analogue ` a (7.3.1), qui est l’unique prolongement, ` a composantes localement libres de
type fini, du complexe de De Rham de U sur S, o` u U est l’ouvert de lissit´ e de X
sur S ; si X = S[x 1 , . . . , x n ]/(x 1 · · · x n − p), le O X -module ω
1
X/S , consid´ er´ e comme
sous-faisceau de Ω
1
X K /K , s’identifie ` a (
O X dx i /x i )/O X (
dx i /x i ). Le complexe
ω
•
D , d´ efini par la formule (7.3.6), est ` a composantes localement libres de type fini
sur D, et co¨ ıncide avec le complexe de De Rham Ω
•
D/k sur l’ouvert de lissit´ e de D.
On a ω
i
X/S = Λ
i ω
1
X/S et ω
i
D = Λ
i ω
1
D . D’apr` es un r´ esultat de Hyodo [Hy] (g´ en´ eralis´ e
par Kato dans [Ka2]), le complexe ω
•
D donne lieu ` a un isomorphisme de Cartier
C
−1 : ω
i
D ′ ≃ H
i F ∗ ω
•
D . Les complexes ω
•
X/S et ω
•
D jouent un rˆ ole important dans
21 Cette notation d´ esigne le diviseur d´ eduit de E ∼ par ´ el´ evation `
a la puissance p-i` eme de ses
´ equations locales.