7. D´ eveloppements r´ ecents et probl` emes ouverts
161
(i) X
′ – ou, ce qui revient au mˆ eme ici, X – se rel` eve (en un sch´ ema propre et
lisse) sur W 2 (k) ;
(ii) τ 1 F ∗ Ω
•
X/k est d´ ecomposable dans D(X
′ ) (4.6) ;
(iii) τ •
X/k est d´ ecomposable dans D(X
′ ).
Nous dirons que X est DR-d´ ecomposable si F ∗ Ω
•
X/k est d´ ecomposable (dans
D(X
′ )). Comme on l’a observ´ e en 5.2, cette condition ´ equivaut, compte tenu de
l’isomorphisme de Cartier (3.5), ` a l’existence d’un isomorphisme
Ω
i
X ′ /k [−i]
∼
−→ F ∗ Ω
•
X/k
de D(X
′ ) induisant C
−1 sur H
i . Les arguments de 5.6 et 5.8 montrent que :
(a) si X est propre sur k et DR-d´ ecomposable, la suite spectrale de Hodge vers
De Rham de X/k d´ eg´ en` ere en E 1 ;
(b) si X est projectif sur k, purement de dimension d, et DR-d´ ecomposable, et
si L est un faisceau inversible ample sur X, on a les r´ esultats d’annulation ` a la
Kodaira-Akizuki-Nakano (5.8.1) et (5.8.2).
En vertu de l’´ equivalence entre les conditions (i) et (ii) ci-dessus, une condition
n´ ecessaire pour que X soit DR-d´ ecomposable est que X se rel` eve sur W 2 (k).
D’apr` es [D-I], elle est suffisante si d p (5.5 et 5.9 (3)). On ignore si elle l’est
en g´ en´ eral :
Probl` eme 7.10. Soit X un k-sch´ ema lisse de dimension d > p, relevable sur
W 2 (k). Est-ce que X est DR-d´ ecomposable ?
7.11. Rappelons (5.5.1) que si X et F se rel` event sur W 2 (k), X est DRd´ ecomposable ; c’est le cas si X est affine, ou est un espace projectif sur k. Comme
il est signal´ e dans [D-I] 2.6 (iv), si X est relevable sur W 2 (k) et si, pour tout entier
n 1, le morphisme de produit (Ω
1
X/k )
⊗ n −→ Ω
n
X/k admet une section, X est
DR-d´ ecomposable (voir 8.1 pour une d´ emonstration) ; cette seconde condition est
v´ erifi´ ee notamment si X est parall´ elisable, i.e. si Ω
1
X/k est un O X -module libre
(ou, ce qui revient au mˆ eme, le fibr´ e tangent T X/k , dual de Ω
1
X/k , est trivial), donc
par exemple si X est une vari´ et´ e ab´ elienne. Par un th´ eor` eme de Grothendieck
(cf. [Oo] et [I7] Appendice 1), toute vari´ et´ e ab´ elienne sur k se rel` eve sur W 2 (k)
(et mˆ eme sur W (k)). Donc toute vari´ et´ e ab´ elienne sur k est DR-d´ ecomposable.
Une autre classe int´ eressante de k-sch´ emas relevables (sur W (k)) est form´ ee des
intersections compl` etes dans P
r
k (voir l’expos´ e de Deligne (SGA 7 XI) pour les
d´ efinitions et propri´ et´ es de base de ces objets). Mais on ignore si celles-ci sont
DR-d´ ecomposables. Le premier cas inconnu est celui d’une quadrique (lisse) de
dimension 3 en caract´ eristique 2. On ignore ´ egalement si les grassmanniennes, et
plus g´ en´ eralement, les vari´ et´ es de drapeaux, qui sont, elles aussi relevables sur
W (k), sont DR-d´ ecomposables (le seul exemple connu est l’espace projectif !).
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(i) X
′ – ou, ce qui revient au mˆ eme ici, X – se rel` eve (en un sch´ ema propre et
lisse) sur W 2 (k) ;
(ii) τ 1 F ∗ Ω
•
X/k est d´ ecomposable dans D(X
′ ) (4.6) ;
(iii) τ •
X/k est d´ ecomposable dans D(X
′ ).
Nous dirons que X est DR-d´ ecomposable si F ∗ Ω
•
X/k est d´ ecomposable (dans
D(X
′ )). Comme on l’a observ´ e en 5.2, cette condition ´ equivaut, compte tenu de
l’isomorphisme de Cartier (3.5), ` a l’existence d’un isomorphisme
Ω
i
X ′ /k [−i]
∼
−→ F ∗ Ω
•
X/k
de D(X
′ ) induisant C
−1 sur H
i . Les arguments de 5.6 et 5.8 montrent que :
(a) si X est propre sur k et DR-d´ ecomposable, la suite spectrale de Hodge vers
De Rham de X/k d´ eg´ en` ere en E 1 ;
(b) si X est projectif sur k, purement de dimension d, et DR-d´ ecomposable, et
si L est un faisceau inversible ample sur X, on a les r´ esultats d’annulation ` a la
Kodaira-Akizuki-Nakano (5.8.1) et (5.8.2).
En vertu de l’´ equivalence entre les conditions (i) et (ii) ci-dessus, une condition
n´ ecessaire pour que X soit DR-d´ ecomposable est que X se rel` eve sur W 2 (k).
D’apr` es [D-I], elle est suffisante si d p (5.5 et 5.9 (3)). On ignore si elle l’est
en g´ en´ eral :
Probl` eme 7.10. Soit X un k-sch´ ema lisse de dimension d > p, relevable sur
W 2 (k). Est-ce que X est DR-d´ ecomposable ?
7.11. Rappelons (5.5.1) que si X et F se rel` event sur W 2 (k), X est DRd´ ecomposable ; c’est le cas si X est affine, ou est un espace projectif sur k. Comme
il est signal´ e dans [D-I] 2.6 (iv), si X est relevable sur W 2 (k) et si, pour tout entier
n 1, le morphisme de produit (Ω
1
X/k )
⊗ n −→ Ω
n
X/k admet une section, X est
DR-d´ ecomposable (voir 8.1 pour une d´ emonstration) ; cette seconde condition est
v´ erifi´ ee notamment si X est parall´ elisable, i.e. si Ω
1
X/k est un O X -module libre
(ou, ce qui revient au mˆ eme, le fibr´ e tangent T X/k , dual de Ω
1
X/k , est trivial), donc
par exemple si X est une vari´ et´ e ab´ elienne. Par un th´ eor` eme de Grothendieck
(cf. [Oo] et [I7] Appendice 1), toute vari´ et´ e ab´ elienne sur k se rel` eve sur W 2 (k)
(et mˆ eme sur W (k)). Donc toute vari´ et´ e ab´ elienne sur k est DR-d´ ecomposable.
Une autre classe int´ eressante de k-sch´ emas relevables (sur W (k)) est form´ ee des
intersections compl` etes dans P
r
k (voir l’expos´ e de Deligne (SGA 7 XI) pour les
d´ efinitions et propri´ et´ es de base de ces objets). Mais on ignore si celles-ci sont
DR-d´ ecomposables. Le premier cas inconnu est celui d’une quadrique (lisse) de
dimension 3 en caract´ eristique 2. On ignore ´ egalement si les grassmanniennes, et
plus g´ en´ eralement, les vari´ et´ es de drapeaux, qui sont, elles aussi relevables sur
W (k), sont DR-d´ ecomposables (le seul exemple connu est l’espace projectif !).