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L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
Th´ eor` eme 7.6. Soient k un corps parfait de caract´ eristique p > 0, W = W (k)
l’anneau des vecteurs de Witt sur k, X un W -sch´ ema propre et lisse de dimension
relative < p. Alors, pour tout entier n 1, la suite spectrale de Hodge vers De
Rham
(7.6.1)
E
i j
1 = H
j (X n , Ω
i
X n /W n
) =⇒ H
i+j
DR (X n /W n )
d´ eg´ en` ere en E 1 , W n = W n (k) = W/p
n W d´ esignant l’anneau des vecteurs de Witt
de longueur n sur k et X n le sch´ ema sur W n d´ eduit de X par r´ eduction modulo
p
n (i.e. par extension des scalaires de W ` a W n ).
7.7. Pour n = 1, on a W n = k et l’on retrouve l’´ enonc´ e 5.6, ` a cela pr` es que, dans
7.6, on suppose donn´ e un rel` evement de X sur W (plutˆ ot que sur W 2 )
20 . Sous
les hypoth` eses de 7.6, il n’est pas vrai en g´ en´ eral, pour n 2, que le complexe
de De Rham Ω
•
X n /W n
(qui est, a priori, seulement un complexe de faisceaux de
W n -modules sur X n (ou X 1 , X n et X 1 ayant le mˆ eme espace sous-jacent)) soit
d´ ecomposable dans la cat´ egorie d´ eriv´ ee correspondante D(X 1 , W n ). Toutefois, les
r´ esultats d’Ogus ([Og1] 8.20) impliquent que, si σ d´ esigne l’automorphisme de
Frobenius de W n , σ
∗ Ω
•
X n /W n
est isomorphe, dans la cat´ egorie d´ eriv´ ee D(X 1 , W n )
des faisceaux de W n -modules sur X 1 , au complexe Ω
•
X n /W n
(p) d´ eduit de Ω
•
X n /W n
en multipliant la diff´ erentielle par p (NB. pour n = 1, on a Ω
•
X n /W n
(p) =
Ω
i
X 1 /k [−i]). La conclusion de 7.6 en d´ ecoule ais´ ement, ainsi que diverses propri´ et´ es suppl´ ementaires de H
∗
DR (X n /W n ) (structure dite “de Fontaine-Laffaille” –
comprenant notamment le fait que la filtration de Hodge est form´ ee de facteurs
directs), voir [F-M] et [Ka1].
7.8. Les r´ esultats de d´ eg´ en´ erescence et de d´ ecomposition dont nous avons parl´ e
jusqu’ ` a pr´ esent portent sur des complexes de De Rham de sch´ emas, ´ eventuellement
` a pˆ oles logarithmiques. On peut, plus g´ en´ eralement, consid´ erer des complexes
de De Rham ` a coefficients dans des modules ` a connexion int´ egrable. Plusieurs
g´ en´ eralisations de ce type ont ´ et´ e obtenues : pour des coefficients de Gauss-Manin
[I5], des faisceaux de modules de Fontaine-Laffaille [Fa2], des T -cristaux [Og2]
(ces derniers objets fournissant d’ailleurs une g´ en´ eralisation commune des deux
pr´ ec´ edents).
C. Probl` emes ouverts
7.9. Soient k un corps parfait de caract´ eristique p > 0, X un k-sch´ ema lisse, de dimension d, X
′ le sch´ ema d´ eduit de X par changement de base par l’automorphisme
de Frobenius de k, F : X −→ X
′ le Frobenius relatif (3.1). On a vu en 5.9 (1) (a)
(avec S = Spec k, T = Spec W 2 (k)) que les conditions suivantes sont ´ equivalentes :
20 En fait, Ogus a montr´ e – mais c’est plus difficile – qu’´ etant donn´ e n 1 et Z propre et lisse
sur W n de dimension < p, alors, si Z admet un rel` evement (propre et lisse) sur W n+1 , la suite
spectrale de Hodge vers De Rham de Z/W n d´ eg´ en` ere en E 1 ([Og2] 8.2.6) ; ce r´ esultat g´ en´ eralise
v´ eritablement 5.6.
L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
Th´ eor` eme 7.6. Soient k un corps parfait de caract´ eristique p > 0, W = W (k)
l’anneau des vecteurs de Witt sur k, X un W -sch´ ema propre et lisse de dimension
relative < p. Alors, pour tout entier n 1, la suite spectrale de Hodge vers De
Rham
(7.6.1)
E
i j
1 = H
j (X n , Ω
i
X n /W n
) =⇒ H
i+j
DR (X n /W n )
d´ eg´ en` ere en E 1 , W n = W n (k) = W/p
n W d´ esignant l’anneau des vecteurs de Witt
de longueur n sur k et X n le sch´ ema sur W n d´ eduit de X par r´ eduction modulo
p
n (i.e. par extension des scalaires de W ` a W n ).
7.7. Pour n = 1, on a W n = k et l’on retrouve l’´ enonc´ e 5.6, ` a cela pr` es que, dans
7.6, on suppose donn´ e un rel` evement de X sur W (plutˆ ot que sur W 2 )
20 . Sous
les hypoth` eses de 7.6, il n’est pas vrai en g´ en´ eral, pour n 2, que le complexe
de De Rham Ω
•
X n /W n
(qui est, a priori, seulement un complexe de faisceaux de
W n -modules sur X n (ou X 1 , X n et X 1 ayant le mˆ eme espace sous-jacent)) soit
d´ ecomposable dans la cat´ egorie d´ eriv´ ee correspondante D(X 1 , W n ). Toutefois, les
r´ esultats d’Ogus ([Og1] 8.20) impliquent que, si σ d´ esigne l’automorphisme de
Frobenius de W n , σ
∗ Ω
•
X n /W n
est isomorphe, dans la cat´ egorie d´ eriv´ ee D(X 1 , W n )
des faisceaux de W n -modules sur X 1 , au complexe Ω
•
X n /W n
(p) d´ eduit de Ω
•
X n /W n
en multipliant la diff´ erentielle par p (NB. pour n = 1, on a Ω
•
X n /W n
(p) =
Ω
i
X 1 /k [−i]). La conclusion de 7.6 en d´ ecoule ais´ ement, ainsi que diverses propri´ et´ es suppl´ ementaires de H
∗
DR (X n /W n ) (structure dite “de Fontaine-Laffaille” –
comprenant notamment le fait que la filtration de Hodge est form´ ee de facteurs
directs), voir [F-M] et [Ka1].
7.8. Les r´ esultats de d´ eg´ en´ erescence et de d´ ecomposition dont nous avons parl´ e
jusqu’ ` a pr´ esent portent sur des complexes de De Rham de sch´ emas, ´ eventuellement
` a pˆ oles logarithmiques. On peut, plus g´ en´ eralement, consid´ erer des complexes
de De Rham ` a coefficients dans des modules ` a connexion int´ egrable. Plusieurs
g´ en´ eralisations de ce type ont ´ et´ e obtenues : pour des coefficients de Gauss-Manin
[I5], des faisceaux de modules de Fontaine-Laffaille [Fa2], des T -cristaux [Og2]
(ces derniers objets fournissant d’ailleurs une g´ en´ eralisation commune des deux
pr´ ec´ edents).
C. Probl` emes ouverts
7.9. Soient k un corps parfait de caract´ eristique p > 0, X un k-sch´ ema lisse, de dimension d, X
′ le sch´ ema d´ eduit de X par changement de base par l’automorphisme
de Frobenius de k, F : X −→ X
′ le Frobenius relatif (3.1). On a vu en 5.9 (1) (a)
(avec S = Spec k, T = Spec W 2 (k)) que les conditions suivantes sont ´ equivalentes :
20 En fait, Ogus a montr´ e – mais c’est plus difficile – qu’´ etant donn´ e n 1 et Z propre et lisse
sur W n de dimension < p, alors, si Z admet un rel` evement (propre et lisse) sur W n+1 , la suite
spectrale de Hodge vers De Rham de Z/W n d´ eg´ en` ere en E 1 ([Og2] 8.2.6) ; ce r´ esultat g´ en´ eralise
v´ eritablement 5.6.