7. D´ eveloppements r´ ecents et probl` emes ouverts
159
le complexe de faisceaux associ´ e ` a ω
•
Y sur Y
an ) incarne le complexe des cycles
proches RΨ(C) de f en 0, de sorte que, si de plus f est propre, H
∗ (Y, ω
•
Y ) “calcule”
H
∗ (X
an
t , C) pour t “assez voisin” de 0. Steenbrink montre en outre que (sous cette
hypoth` ese suppl´ ementaire) les suites spectrales
(7.3.4)
E
p q
1 = R
q f ∗ ω
p
X/S =⇒ R
p+q f ∗ ω
•
X/S
et
(7.3.5)
E
p q
1 = H
q (Y, ω
p
Y ) =⇒ H
p+q (Y, ω
•
Y )
d´ eg´ en` erent en E 1 et que les faisceaux R
q f ∗ ω
p
X/S sont localement libres de type fini
et de formation compatible ` a tout changement de base. Ces r´ esultats font partie
de la construction d’une structure de Hodge mixte limite sur H
∗ (X
an
t , Z) pour t
tendant vers 0 (loc. cit.). Ils peuvent, eux aussi, se d´ emontrer par r´ eduction ` a la
caract´ eristique p > 0 ([I5]). Pour T de caract´ eristique p > 0, et f : X −→ S ` a
r´ eduction semi-stable le long de E ⊂ S, les complexes ω
•
X/S et
(7.3.6)
ω
•
D = O D ⊗ O S ω
•
X/S
(o` u D = E × S X) donnent en effet lieu ` a des isomorphismes de Cartier (du type
de 3.5), et, sous des hypoth` eses de relevabilit´ e modulo p
2 convenables, τ •
X/S
et τ •
D se d´ ecomposent (dans D(X
′ )) (voir [I5] 2.2 pour un ´ enonc´ e pr´ ecis, qui
g´ en´ eralise 7.2, et divers corollaires (´ enonc´ es de d´ eg´ en´ erescence et d’annulation)).
7.4. Le complexe ω
•
D ci-dessus ne d´ epend pas seulement de D, mais de X/S. Il
n’en d´ epend toutefois que localement (au voisinage de D). En cherchant ` a ´ elucider
la structure suppl´ ementaire sur D n´ ecessaire pour le d´ efinir, J.-M. Fontaine et
l’auteur ont ´ et´ e conduits ` a introduire la notion de structure logarithmique. Celleci a donn´ e lieu ` a une th´ eorie, la g´ eom´ etrie logarithmique, extension naturelle de la
th´ eorie des sch´ emas. Largement d´ evelopp´ ee par K. Kato et son ´ ecole, elle permet
d’unifier les diverses constructions de complexes ` a pˆ oles logarithmiques envisag´ es
ci-dessus et de consid´ erer les vari´ et´ es toriques de Mumford et al. et les morphismes
` a r´ eduction semi-stable comme cas particuliers d’une nouvelle notion de lissit´ e, voir
[I6] pour une introduction. Les r´ esultats de d´ ecomposition, de d´ eg´ en´ erescence et
d’annulation pr´ ec´ edents admettent des g´ en´ eralisations dans ce cadre, voir [Ka2] et
[Og2].
B. D´ eg´ en´ erescence mod p
n et cristaux
7.5. Le th´ eor` eme de d´ ecomposition 5.1 a ´ et´ e obtenu initialement comme sousproduit des travaux d’Ogus [Og1], Fontaine-Messing [F-M] et Kato [Ka1] en
cohomologie cristalline (voir [I4] pour un panorama de cette th´ eorie). Le lien (un
peu technique) entre 5.1 et le point de vue cristallin est expliqu´ e dans [D-I] 2.2
(iv). Bornons-nous ` a ´ enoncer un r´ esultat de d´ eg´ en´ erescence mod p
n ([F-M], [Ka1])
analogue ` a 5.6 :
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le complexe de faisceaux associ´ e ` a ω
•
Y sur Y
an ) incarne le complexe des cycles
proches RΨ(C) de f en 0, de sorte que, si de plus f est propre, H
∗ (Y, ω
•
Y ) “calcule”
H
∗ (X
an
t , C) pour t “assez voisin” de 0. Steenbrink montre en outre que (sous cette
hypoth` ese suppl´ ementaire) les suites spectrales
(7.3.4)
E
p q
1 = R
q f ∗ ω
p
X/S =⇒ R
p+q f ∗ ω
•
X/S
et
(7.3.5)
E
p q
1 = H
q (Y, ω
p
Y ) =⇒ H
p+q (Y, ω
•
Y )
d´ eg´ en` erent en E 1 et que les faisceaux R
q f ∗ ω
p
X/S sont localement libres de type fini
et de formation compatible ` a tout changement de base. Ces r´ esultats font partie
de la construction d’une structure de Hodge mixte limite sur H
∗ (X
an
t , Z) pour t
tendant vers 0 (loc. cit.). Ils peuvent, eux aussi, se d´ emontrer par r´ eduction ` a la
caract´ eristique p > 0 ([I5]). Pour T de caract´ eristique p > 0, et f : X −→ S ` a
r´ eduction semi-stable le long de E ⊂ S, les complexes ω
•
X/S et
(7.3.6)
ω
•
D = O D ⊗ O S ω
•
X/S
(o` u D = E × S X) donnent en effet lieu ` a des isomorphismes de Cartier (du type
de 3.5), et, sous des hypoth` eses de relevabilit´ e modulo p
2 convenables, τ •
X/S
et τ •
D se d´ ecomposent (dans D(X
′ )) (voir [I5] 2.2 pour un ´ enonc´ e pr´ ecis, qui
g´ en´ eralise 7.2, et divers corollaires (´ enonc´ es de d´ eg´ en´ erescence et d’annulation)).
7.4. Le complexe ω
•
D ci-dessus ne d´ epend pas seulement de D, mais de X/S. Il
n’en d´ epend toutefois que localement (au voisinage de D). En cherchant ` a ´ elucider
la structure suppl´ ementaire sur D n´ ecessaire pour le d´ efinir, J.-M. Fontaine et
l’auteur ont ´ et´ e conduits ` a introduire la notion de structure logarithmique. Celleci a donn´ e lieu ` a une th´ eorie, la g´ eom´ etrie logarithmique, extension naturelle de la
th´ eorie des sch´ emas. Largement d´ evelopp´ ee par K. Kato et son ´ ecole, elle permet
d’unifier les diverses constructions de complexes ` a pˆ oles logarithmiques envisag´ es
ci-dessus et de consid´ erer les vari´ et´ es toriques de Mumford et al. et les morphismes
` a r´ eduction semi-stable comme cas particuliers d’une nouvelle notion de lissit´ e, voir
[I6] pour une introduction. Les r´ esultats de d´ ecomposition, de d´ eg´ en´ erescence et
d’annulation pr´ ec´ edents admettent des g´ en´ eralisations dans ce cadre, voir [Ka2] et
[Og2].
B. D´ eg´ en´ erescence mod p
n et cristaux
7.5. Le th´ eor` eme de d´ ecomposition 5.1 a ´ et´ e obtenu initialement comme sousproduit des travaux d’Ogus [Og1], Fontaine-Messing [F-M] et Kato [Ka1] en
cohomologie cristalline (voir [I4] pour un panorama de cette th´ eorie). Le lien (un
peu technique) entre 5.1 et le point de vue cristallin est expliqu´ e dans [D-I] 2.2
(iv). Bornons-nous ` a ´ enoncer un r´ esultat de d´ eg´ en´ erescence mod p
n ([F-M], [Ka1])
analogue ` a 5.6 :