158
L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
croisements normaux relativement ` a T (mais non ` a S)
19 . Un exemple ´ el´ ementaire
est fourni par la “famille de Legendre” X = Spec k[x, y, t]/(y
2 − x(x − 1)(xt)) au-dessus de S = Spec k[t] = Spec k, k un corps de caract´ eristique = 2),
qui a r´ eduction semi-stable en {0} ∪ {1}, la fibre en chacun de ces points ´ etant
isomorphe ` a la cubique ` a point double envisag´ ee plus haut. L’int´ erˆ et de la notion de
r´ eduction semi-stable vient de la conjecture de r´ eduction semi-stable, qui, en gros,
affirme que localement, apr` es ramification convenable de la base, un morphisme
lisse peut se prolonger en un morphisme ` a r´ eduction semi-stable, conjecture
´ etablie par Grothendieck-Deligne-Mumford et Artin-Winters ([G], [A-W], [D-M])
en caract´ eristique quelconque mais dimension relative 1, et Mumford ([M]) en
caract´ eristique nulle et dimension relative quelconque.
Si f : X −→ S a r´ eduction semi-stable le long de E, on d´ efinit un complexe
de De Rham ` a pˆ oles logarithmiques relatif
(7.3.1)
ω
•
X/S = Ω
•
X/S (log D/E),
de composantes ω
i
X/S = Λ
i ω
1
X/S , o` u ω
1
X/S est le quotient de Ω
1
X/T (log D) par
l’image de f
∗ Ω
1
S/T (log E) et la diff´ erentielle est d´ eduite de celle de Ω
•
X/T (log D)
par passage au quotient. Ce complexe est ` a composantes localement libres
de type fini (dans le cas du morphisme s ci-dessus, ω
1
X/S est isomorphe ` a
(
O X dx i /x i )/O X (
dx i /x i ) (donc libre de base dx i /x i , i 2)). Il induit sur
l’ouvert de lissit´ e U de X sur S le complexe de De Rham usuel Ω
•
U/S , et l’on
peut montrer que c’est l’unique prolongement sur X de ce complexe qui soit ` a
composantes localement libres de type fini. De plus, si l’on pose, pour abr´ eger,
ω
•
X/T = Ω
•
X/T (log D), ω
•
S/T = Ω
•
S/T (log E), on a une suite exacte
(7.3.2)
0 −→ ω
1
S/T ⊗ ω
•
X/S [−1] −→ ω
•
X/T −→ ω
•
X/S −→ 0,
o` u la fl` eche de gauche est a ⊗ b −→ f
∗ a ∧ b. Cette suite exacte joue un rˆ ole
important dans le th´ eor` eme de r´ egularit´ e de la connexion de Gauss-Manin (cf.
[K2] et l’article de Bertin-Peters dans ce volume). Il existe aussi une variante, en
g´ eom´ etrie analytique complexe, de ces constructions. Supposons que T = Spec C,
que S soit une courbe lisse sur C, E ⊂ S le diviseur r´ eduit ` a un point 0, et que
f : X −→ S soit un morphisme ` a r´ eduction semi-stable en {0}, de fibre Y en 0 (Y
est donc un diviseur ` a croisement normaux dans X relativement ` a C). On peut
alors consid´ erer le complexe
(7.3.3)
ω
•
Y = C {0} ⊗ O S ω
•
X/S ,
de composantes les faisceaux localement libres de type fini ω
i
Y = O Y ⊗ O X ω
i
X/S .
Steenbrink [St] a montr´ e que le complexe analogue ω
•
Y an sur Y
an (qui est aussi
19 On peut mˆ eme d´ efinir une notion de r´ eduction semi-stable le long de E sans hypoth` ese sur
la dimension relative de S sur T , cf. [I5].
L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
croisements normaux relativement ` a T (mais non ` a S)
19 . Un exemple ´ el´ ementaire
est fourni par la “famille de Legendre” X = Spec k[x, y, t]/(y
2 − x(x − 1)(xt)) au-dessus de S = Spec k[t] = Spec k, k un corps de caract´ eristique = 2),
qui a r´ eduction semi-stable en {0} ∪ {1}, la fibre en chacun de ces points ´ etant
isomorphe ` a la cubique ` a point double envisag´ ee plus haut. L’int´ erˆ et de la notion de
r´ eduction semi-stable vient de la conjecture de r´ eduction semi-stable, qui, en gros,
affirme que localement, apr` es ramification convenable de la base, un morphisme
lisse peut se prolonger en un morphisme ` a r´ eduction semi-stable, conjecture
´ etablie par Grothendieck-Deligne-Mumford et Artin-Winters ([G], [A-W], [D-M])
en caract´ eristique quelconque mais dimension relative 1, et Mumford ([M]) en
caract´ eristique nulle et dimension relative quelconque.
Si f : X −→ S a r´ eduction semi-stable le long de E, on d´ efinit un complexe
de De Rham ` a pˆ oles logarithmiques relatif
(7.3.1)
ω
•
X/S = Ω
•
X/S (log D/E),
de composantes ω
i
X/S = Λ
i ω
1
X/S , o` u ω
1
X/S est le quotient de Ω
1
X/T (log D) par
l’image de f
∗ Ω
1
S/T (log E) et la diff´ erentielle est d´ eduite de celle de Ω
•
X/T (log D)
par passage au quotient. Ce complexe est ` a composantes localement libres
de type fini (dans le cas du morphisme s ci-dessus, ω
1
X/S est isomorphe ` a
(
O X dx i /x i )/O X (
dx i /x i ) (donc libre de base dx i /x i , i 2)). Il induit sur
l’ouvert de lissit´ e U de X sur S le complexe de De Rham usuel Ω
•
U/S , et l’on
peut montrer que c’est l’unique prolongement sur X de ce complexe qui soit ` a
composantes localement libres de type fini. De plus, si l’on pose, pour abr´ eger,
ω
•
X/T = Ω
•
X/T (log D), ω
•
S/T = Ω
•
S/T (log E), on a une suite exacte
(7.3.2)
0 −→ ω
1
S/T ⊗ ω
•
X/S [−1] −→ ω
•
X/T −→ ω
•
X/S −→ 0,
o` u la fl` eche de gauche est a ⊗ b −→ f
∗ a ∧ b. Cette suite exacte joue un rˆ ole
important dans le th´ eor` eme de r´ egularit´ e de la connexion de Gauss-Manin (cf.
[K2] et l’article de Bertin-Peters dans ce volume). Il existe aussi une variante, en
g´ eom´ etrie analytique complexe, de ces constructions. Supposons que T = Spec C,
que S soit une courbe lisse sur C, E ⊂ S le diviseur r´ eduit ` a un point 0, et que
f : X −→ S soit un morphisme ` a r´ eduction semi-stable en {0}, de fibre Y en 0 (Y
est donc un diviseur ` a croisement normaux dans X relativement ` a C). On peut
alors consid´ erer le complexe
(7.3.3)
ω
•
Y = C {0} ⊗ O S ω
•
X/S ,
de composantes les faisceaux localement libres de type fini ω
i
Y = O Y ⊗ O X ω
i
X/S .
Steenbrink [St] a montr´ e que le complexe analogue ω
•
Y an sur Y
an (qui est aussi
19 On peut mˆ eme d´ efinir une notion de r´ eduction semi-stable le long de E sans hypoth` ese sur
la dimension relative de S sur T , cf. [I5].