7. D´ eveloppements r´ ecents et probl` emes ouverts
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(loc. cit.). Quand de plus X est propre sur C, le th´ eor` eme de comparaison de Serre
[GAGA] permet de d´ eduire de (7.1.3) des isomorphismes
(7.1.4)
H
i (U
an , C) ≃ H
i (X, Ω
•
X/S (log D)).
En outre, la filtration F de H
∗ (X, Ω
•
X/S (log D)), aboutissement de la premi` ere
suite spectrale d’hypercohomologie de X ` a valeurs dans Ω
•
X/S (log D),
(7.1.5)
E
p q
1 = H
q (X, Ω
p
X/S (log D) =⇒ H
p+q (X, Ω
•
X/S (log D))
est la filtration de Hodge de la structure de Hodge mixte naturelle de H
∗ (U
an , Z)
d´ efinie par Deligne et la suite spectrale (7.1.5) d´ eg´ en` ere en E 1 ([D2]).
Tout comme dans le cas o` u D = ∅ (6.9), cette d´ eg´ en´ erescence peut se d´ emontrer
par r´ eduction ` a la caract´ eristique p > 0. On a en effet le r´ esultat suivant, qui
g´ en´ eralise 5.1 et dont la preuve est analogue ([D-I] 4.2.3) :
Th´ eor` eme 7.2. Soient S un sch´ ema de caract´ eristique p > 0, S
∼ un rel` evement
plat de S sur Z/p
2 Z, X un S-sch´ ema lisse et D ⊂ X un diviseur ` a croisements
normaux relatif. Notons F : X −→ X
′ le Frobenius relatif de X/S. Si le
couple (X
′ , D
′ ) admet un rel` evement (X
′ ∼ , D
′ ∼ ) sur S
∼ , o` u X
′ ∼ est lisse et
D
′ ∼ ⊂ X
′ ∼ est un diviseur ` a croisements normaux relatif, le complexe de O X ′ -
modules τ •
X/S (log D) est d´ ecomposable dans la cat´ egorie d´ eriv´ ee D(X
′ ).
Le lecteur trouvera dans [D-I] divers compl´ ements ` a 7.2 et dans [E-V] une autre
pr´ esentation des mˆ emes r´ esultats, et des applications ` a des th´ eor` emes d’amplitude
et d’annulation.
7.3. La th´ eorie qui pr´ ec` ede s’´ etend sans grands changements ` a une classe de morphismes qui ne sont plus lisses, mais n’en sont pas tr` es ´ eloign´ es, les morphismes dits
“de r´ eduction semi-stable”. Soit T un sch´ ema. L’exemple type de tels morphismes
est le morphisme
s : A
n
T = T [x 1 , . . . , x n ] −→ A
1
T = T [t],
t −→ x 1 · · · x n (n 1);
en d’autres termes, si S = A
1
T , le sch´ ema A
n
T , consid´ er´ e comme S-sch´ ema par
s, est le sous-S-sch´ ema de A
n
S = S[x 1 , . . . , x n ] = T [x 1 , . . . , x n , t] d’´ equation
x 1 · · · x n = t. Le morphisme s est lisse hors de 0 et sa fibre en 0 est le diviseur D
d’´ equation (x 1 · · · x n = 0), un diviseur ` a croisements normaux relativement ` a T ,
mais non ` a S (un diviseur “vertical”). Plus g´ en´ eralement, si S est un T -sch´ ema
lisse de dimension relative 1 et E ⊂ S un diviseur ` a croisement normaux relatif
(si T est le spectre d’un corps alg´ ebriquement clos, E est donc simplement un
ensemble fini de points rationnels de S), on dit qu’un S-sch´ ema X a r´ eduction
semi-stable le long de E si, localement pour la topologie ´ etale (sur X et sur S) le
morphisme X −→ S est de la forme s ◦ g, avec g lisse, s ´ etant le morphisme
consid´ er´ e ci-dessus. Le diviseur D = X × S E ⊂ X est alors un diviseur ` a
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(loc. cit.). Quand de plus X est propre sur C, le th´ eor` eme de comparaison de Serre
[GAGA] permet de d´ eduire de (7.1.3) des isomorphismes
(7.1.4)
H
i (U
an , C) ≃ H
i (X, Ω
•
X/S (log D)).
En outre, la filtration F de H
∗ (X, Ω
•
X/S (log D)), aboutissement de la premi` ere
suite spectrale d’hypercohomologie de X ` a valeurs dans Ω
•
X/S (log D),
(7.1.5)
E
p q
1 = H
q (X, Ω
p
X/S (log D) =⇒ H
p+q (X, Ω
•
X/S (log D))
est la filtration de Hodge de la structure de Hodge mixte naturelle de H
∗ (U
an , Z)
d´ efinie par Deligne et la suite spectrale (7.1.5) d´ eg´ en` ere en E 1 ([D2]).
Tout comme dans le cas o` u D = ∅ (6.9), cette d´ eg´ en´ erescence peut se d´ emontrer
par r´ eduction ` a la caract´ eristique p > 0. On a en effet le r´ esultat suivant, qui
g´ en´ eralise 5.1 et dont la preuve est analogue ([D-I] 4.2.3) :
Th´ eor` eme 7.2. Soient S un sch´ ema de caract´ eristique p > 0, S
∼ un rel` evement
plat de S sur Z/p
2 Z, X un S-sch´ ema lisse et D ⊂ X un diviseur ` a croisements
normaux relatif. Notons F : X −→ X
′ le Frobenius relatif de X/S. Si le
couple (X
′ , D
′ ) admet un rel` evement (X
′ ∼ , D
′ ∼ ) sur S
∼ , o` u X
′ ∼ est lisse et
D
′ ∼ ⊂ X
′ ∼ est un diviseur ` a croisements normaux relatif, le complexe de O X ′ -
modules τ •
X/S (log D) est d´ ecomposable dans la cat´ egorie d´ eriv´ ee D(X
′ ).
Le lecteur trouvera dans [D-I] divers compl´ ements ` a 7.2 et dans [E-V] une autre
pr´ esentation des mˆ emes r´ esultats, et des applications ` a des th´ eor` emes d’amplitude
et d’annulation.
7.3. La th´ eorie qui pr´ ec` ede s’´ etend sans grands changements ` a une classe de morphismes qui ne sont plus lisses, mais n’en sont pas tr` es ´ eloign´ es, les morphismes dits
“de r´ eduction semi-stable”. Soit T un sch´ ema. L’exemple type de tels morphismes
est le morphisme
s : A
n
T = T [x 1 , . . . , x n ] −→ A
1
T = T [t],
t −→ x 1 · · · x n (n 1);
en d’autres termes, si S = A
1
T , le sch´ ema A
n
T , consid´ er´ e comme S-sch´ ema par
s, est le sous-S-sch´ ema de A
n
S = S[x 1 , . . . , x n ] = T [x 1 , . . . , x n , t] d’´ equation
x 1 · · · x n = t. Le morphisme s est lisse hors de 0 et sa fibre en 0 est le diviseur D
d’´ equation (x 1 · · · x n = 0), un diviseur ` a croisements normaux relativement ` a T ,
mais non ` a S (un diviseur “vertical”). Plus g´ en´ eralement, si S est un T -sch´ ema
lisse de dimension relative 1 et E ⊂ S un diviseur ` a croisement normaux relatif
(si T est le spectre d’un corps alg´ ebriquement clos, E est donc simplement un
ensemble fini de points rationnels de S), on dit qu’un S-sch´ ema X a r´ eduction
semi-stable le long de E si, localement pour la topologie ´ etale (sur X et sur S) le
morphisme X −→ S est de la forme s ◦ g, avec g lisse, s ´ etant le morphisme
consid´ er´ e ci-dessus. Le diviseur D = X × S E ⊂ X est alors un diviseur ` a