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L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
que D i soit le sous-sch´ ema ferm´ e d’´ equation x 1 · · · x r = 0. Cette d´ efinition est
calqu´ ee sur la d´ efinition analogue en g´ eom´ etrie analytique complexe (cf. [D1]),
o` u “localement pour la topologie ´ etale” est remplac´ e par “localement pour la
topologie classique”, et “morphisme ´ etale” par “isomorphisme local”. Un exemple
standard de diviseur ` a croisements normaux relativement `
a S = Spec k, k un
corps de caract´ eristique diff´ erente de 2, est la cubique ` a point double D =
Spec k[x, y]/(y
2 − x
2 (x − 1)) dans le plan affine X = Spec k[x, y] (observer, dans
cet exemple, qu’il n’existe pas de syst` eme de coordonn´ ees (x j ) comme ci-dessus
sur un recouvrement ouvert de Zariski de X, une extension ´ etale (extraction d’une
racine carr´ ee de x − 1) ´ etant n´ ecessaire pour faire apparaˆ ıtre un tel syst` eme au
voisinage de l’origine).
La notion de diviseur ` a croisements normaux D ֒−→ X relativement ` a S est
stable par localisation ´ etale sur X et par changement de base S
′ −→ S.
Si D ֒−→ X est un diviseur ` a croisements normaux relatif, et si j : U =
X D ֒−→ X est l’inclusion de l’ouvert compl´ ementaire, on d´ efinit un souscomplexe
(7.1.1)
Ω
•
X/S (log D)
de j ∗ Ω
•
U/S , dit complexe de De Rham de X/S ` a pˆ oles logarithmiques le long de
D, par la condition qu’une section locale ω de j ∗ Ω
i
U/S appartient ` a Ω
i
X/S (log D)
si et seulement si ω et dω ont au plus un pˆ ole simple le long de D (i.e. sont
telles que, si f est une ´ equation locale de D, f ω (resp. f dω) soit section de Ω
i
X/S
(resp. Ω
i+1
X/S ) (NB. f est n´ ecessairement non diviseur de z´ ero dans O X )). On voit
facilement que les O X -modules Ω
i
X/S (log D) sont localement libres de type fini,
que Ω
i
X/S (log D) = Λ
i Ω
1
X/S (log D), et que, si, comme plus haut, (x 1 , . . . , x n )
sont des coordonn´ ees sur un X
′ ´ etale sur X o` u D a pour ´ equation x 1 · · · x r = 0,
Ω
1
X/S (log D) est libre de base (dx 1 /x 1 , . . . , dx r /x r , dx r+1 , . . . , dx n ).
Il existe une variante naturelle, en g´ eom´ etrie analytique complexe, de la
construction (7.1.1) (cf. [D1]). Si S = Spec C et D ⊂ X est un diviseur ` a
croisements normaux (alg´ ebrique), le complexe de faisceaux analytiques associ´ e
` a (7.1.1) sur l’espace analytique X
an associ´ e ` a X,
Ω
•
X/C (log D)
an = Ω
•
X an /C (log D
an ),
calcule la cohomologie transcendante de U ` a valeurs dans C : on a un isomorphisme
canonique (dans la cat´ egorie d´ eriv´ ee D(X
an , C))
(7.1.2)
Rj ∗ C ≃ Ω
•
X/S (log D)
an ,
et par suite des isomorphismes
(7.1.3)
H
i (U
an , C) ≃ H
i (X
an , Ω
•
X/S (log D)
an )
L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
que D i soit le sous-sch´ ema ferm´ e d’´ equation x 1 · · · x r = 0. Cette d´ efinition est
calqu´ ee sur la d´ efinition analogue en g´ eom´ etrie analytique complexe (cf. [D1]),
o` u “localement pour la topologie ´ etale” est remplac´ e par “localement pour la
topologie classique”, et “morphisme ´ etale” par “isomorphisme local”. Un exemple
standard de diviseur ` a croisements normaux relativement `
a S = Spec k, k un
corps de caract´ eristique diff´ erente de 2, est la cubique ` a point double D =
Spec k[x, y]/(y
2 − x
2 (x − 1)) dans le plan affine X = Spec k[x, y] (observer, dans
cet exemple, qu’il n’existe pas de syst` eme de coordonn´ ees (x j ) comme ci-dessus
sur un recouvrement ouvert de Zariski de X, une extension ´ etale (extraction d’une
racine carr´ ee de x − 1) ´ etant n´ ecessaire pour faire apparaˆ ıtre un tel syst` eme au
voisinage de l’origine).
La notion de diviseur ` a croisements normaux D ֒−→ X relativement ` a S est
stable par localisation ´ etale sur X et par changement de base S
′ −→ S.
Si D ֒−→ X est un diviseur ` a croisements normaux relatif, et si j : U =
X D ֒−→ X est l’inclusion de l’ouvert compl´ ementaire, on d´ efinit un souscomplexe
(7.1.1)
Ω
•
X/S (log D)
de j ∗ Ω
•
U/S , dit complexe de De Rham de X/S ` a pˆ oles logarithmiques le long de
D, par la condition qu’une section locale ω de j ∗ Ω
i
U/S appartient ` a Ω
i
X/S (log D)
si et seulement si ω et dω ont au plus un pˆ ole simple le long de D (i.e. sont
telles que, si f est une ´ equation locale de D, f ω (resp. f dω) soit section de Ω
i
X/S
(resp. Ω
i+1
X/S ) (NB. f est n´ ecessairement non diviseur de z´ ero dans O X )). On voit
facilement que les O X -modules Ω
i
X/S (log D) sont localement libres de type fini,
que Ω
i
X/S (log D) = Λ
i Ω
1
X/S (log D), et que, si, comme plus haut, (x 1 , . . . , x n )
sont des coordonn´ ees sur un X
′ ´ etale sur X o` u D a pour ´ equation x 1 · · · x r = 0,
Ω
1
X/S (log D) est libre de base (dx 1 /x 1 , . . . , dx r /x r , dx r+1 , . . . , dx n ).
Il existe une variante naturelle, en g´ eom´ etrie analytique complexe, de la
construction (7.1.1) (cf. [D1]). Si S = Spec C et D ⊂ X est un diviseur ` a
croisements normaux (alg´ ebrique), le complexe de faisceaux analytiques associ´ e
` a (7.1.1) sur l’espace analytique X
an associ´ e ` a X,
Ω
•
X/C (log D)
an = Ω
•
X an /C (log D
an ),
calcule la cohomologie transcendante de U ` a valeurs dans C : on a un isomorphisme
canonique (dans la cat´ egorie d´ eriv´ ee D(X
an , C))
(7.1.2)
Rj ∗ C ≃ Ω
•
X/S (log D)
an ,
et par suite des isomorphismes
(7.1.3)
H
i (U
an , C) ≃ H
i (X
an , Ω
•
X/S (log D)
an )