7. D´ eveloppements r´ ecents et probl` emes ouverts
155
La v´ erification de (b) puis des deux premi` eres assertions de (a) se ram` ene ` a
6.1.2. Pour la derni` ere de (a), il suffit de traiter le cas o` u E est tr` es ample, i.e.
correspond ` a une immersion ferm´ ee h : X −→ P = P
r
S telle que h
∗ O P (1) ≃ E.
Pour i assez grand, on rel` eve h en un S i -morphisme h i : X i −→ P i = P
r
S i
et
E en E i inversible sur X i . Quitte ` a agrandir i, h i est une immersion ferm´ ee et
l’isomorphisme h
∗ O P (1) ≃ E provient d’un isomorphisme h
∗
i O P i (1) ≃ E i , E i est
alors tr` es ample.
Prouvons 6.10. Proc´ edant comme dans la d´ emonstration de 6.9, et appliquant
en outre 6.11, on peut trouver un sous-anneau A de K de type fini et lisse sur
Z, un morphisme projectif et lisse f : X −→ S = Spec A, purement de dimension
relative d, dont X −→ Spec K se d´ eduit par changement de base, et un O X -
module inversible ample L dont L se d´ eduit par extension des scalaires. Grˆ ace ` a
6.6 et 6.8 (b), on peut de plus, quitte ` a remplacer A par A[t
−1 ], supposer que les
faisceaux R
j f ∗ (M⊗Ω
i
X /S), o` u M = L (resp. L
⊗−1 ), sont libres de type fini, de rang
constant, n´ ecessairement ´ egal, d’apr` es 6.8 (b), ` a h
i j (L) = dim K H
j (X, L ⊗ Ω
i
X/K )
(resp. h
i j (L
⊗−1 ) = H
j (X, L
⊗−1 ⊗Ω
i
X/K )). Choisissons alors g : Spec W 2 (k) −→ S
comme dans la d´ emonstration de 6.9. Le faisceau L s image inverse de L sur
Y = X s est ample. D’apr` es 6.6 et 6.8 (b), on a dim k H
j (Y, L s ⊗ Ω
i
Y /k ) = h
i j (L),
et dim k H
j (Y, L
⊗−1
s
⊗ Ω
i
Y /k ) = h
i j (L
⊗−1 ). La conclusion r´ esulte alors de 5.8.
Remarque 6.12. De mani` ere analogue, le th´ eor` eme d’annulation de Ramanujam sur les surfaces [Ram] r´ esulte de la variante de 5.8 relative aux faisceaux
num´ eriquement positifs (cf. 5.9 (5)).
7. D´ eveloppements r´ ecents et probl` emes ouverts
A. Diviseurs ` a croisements normaux, r´ eduction semi-stable, et structures logarithmiques
7.1. Soient S un sch´ ema, X un S-sch´ ema lisse, et D un sous-sch´ ema ferm´ e de
X. On dit que D est un diviseur ` a croisements normaux relativement ` a S (ou
simplement, relatif ) si, “localement pour la topologie ´ etale sur X”, le couple (X, D)
est “isomorphe” au couple form´ e de l’espace affine standard A
n
S = S[t 1 , . . . , t n ]
et du diviseur V (t 1 · · · t r ) d’´ equation t 1 · · · t r = 0, pour 0 r n (le cas r = 0
correspondant ` a t 1 · · · t r = 1 et V (t 1 · · · t r ) = ∅). Cela signifie qu’il existe un
recouvrement ´ etale (X i ) i∈I de X (i.e. une famille de morphismes ´ etales X i −→ X
dont la r´ eunion des images est X) tel que, si D i = X i × X D est le sous-sch´ ema
ferm´ e induit par D sur X i , il existe un morphisme ´ etale X i −→ A
n
S tel qu’on ait
un carr´ e cart´ esien
D i −→ X i
V (t 1 · · · t r ) −→ A
n
S
(n et r d´ ependant de i), en d’autres termes, qu’il existe un syst` eme de coordonn´ ees
(x 1 , . . . , x n ) sur X i au sens de 2.7 (d´ efinissant le morphisme ´ etale X i −→ A
n
S ) tel
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La v´ erification de (b) puis des deux premi` eres assertions de (a) se ram` ene ` a
6.1.2. Pour la derni` ere de (a), il suffit de traiter le cas o` u E est tr` es ample, i.e.
correspond ` a une immersion ferm´ ee h : X −→ P = P
r
S telle que h
∗ O P (1) ≃ E.
Pour i assez grand, on rel` eve h en un S i -morphisme h i : X i −→ P i = P
r
S i
et
E en E i inversible sur X i . Quitte ` a agrandir i, h i est une immersion ferm´ ee et
l’isomorphisme h
∗ O P (1) ≃ E provient d’un isomorphisme h
∗
i O P i (1) ≃ E i , E i est
alors tr` es ample.
Prouvons 6.10. Proc´ edant comme dans la d´ emonstration de 6.9, et appliquant
en outre 6.11, on peut trouver un sous-anneau A de K de type fini et lisse sur
Z, un morphisme projectif et lisse f : X −→ S = Spec A, purement de dimension
relative d, dont X −→ Spec K se d´ eduit par changement de base, et un O X -
module inversible ample L dont L se d´ eduit par extension des scalaires. Grˆ ace ` a
6.6 et 6.8 (b), on peut de plus, quitte ` a remplacer A par A[t
−1 ], supposer que les
faisceaux R
j f ∗ (M⊗Ω
i
X /S), o` u M = L (resp. L
⊗−1 ), sont libres de type fini, de rang
constant, n´ ecessairement ´ egal, d’apr` es 6.8 (b), ` a h
i j (L) = dim K H
j (X, L ⊗ Ω
i
X/K )
(resp. h
i j (L
⊗−1 ) = H
j (X, L
⊗−1 ⊗Ω
i
X/K )). Choisissons alors g : Spec W 2 (k) −→ S
comme dans la d´ emonstration de 6.9. Le faisceau L s image inverse de L sur
Y = X s est ample. D’apr` es 6.6 et 6.8 (b), on a dim k H
j (Y, L s ⊗ Ω
i
Y /k ) = h
i j (L),
et dim k H
j (Y, L
⊗−1
s
⊗ Ω
i
Y /k ) = h
i j (L
⊗−1 ). La conclusion r´ esulte alors de 5.8.
Remarque 6.12. De mani` ere analogue, le th´ eor` eme d’annulation de Ramanujam sur les surfaces [Ram] r´ esulte de la variante de 5.8 relative aux faisceaux
num´ eriquement positifs (cf. 5.9 (5)).
7. D´ eveloppements r´ ecents et probl` emes ouverts
A. Diviseurs ` a croisements normaux, r´ eduction semi-stable, et structures logarithmiques
7.1. Soient S un sch´ ema, X un S-sch´ ema lisse, et D un sous-sch´ ema ferm´ e de
X. On dit que D est un diviseur ` a croisements normaux relativement ` a S (ou
simplement, relatif ) si, “localement pour la topologie ´ etale sur X”, le couple (X, D)
est “isomorphe” au couple form´ e de l’espace affine standard A
n
S = S[t 1 , . . . , t n ]
et du diviseur V (t 1 · · · t r ) d’´ equation t 1 · · · t r = 0, pour 0 r n (le cas r = 0
correspondant ` a t 1 · · · t r = 1 et V (t 1 · · · t r ) = ∅). Cela signifie qu’il existe un
recouvrement ´ etale (X i ) i∈I de X (i.e. une famille de morphismes ´ etales X i −→ X
dont la r´ eunion des images est X) tel que, si D i = X i × X D est le sous-sch´ ema
ferm´ e induit par D sur X i , il existe un morphisme ´ etale X i −→ A
n
S tel qu’on ait
un carr´ e cart´ esien
D i −→ X i
V (t 1 · · · t r ) −→ A
n
S
(n et r d´ ependant de i), en d’autres termes, qu’il existe un syst` eme de coordonn´ ees
(x 1 , . . . , x n ) sur X i au sens de 2.7 (d´ efinissant le morphisme ´ etale X i −→ A
n
S ) tel