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L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
Par construction, Y est un k-sch´ ema propre et lisse, de dimension < p, relev´ e sur
W 2 (k). Donc, d’apr` es 5.6, la suite spectrale de Hodge vers De Rham de Y sur k
d´ eg´ en` ere en E 1 . On a donc, pour tout n,
i+j=n
dim k H
j (Y, Ω
i
Y /k ) = dim k H
n
DR (Y /k).
Mais d’apr` es 6.6 (c) et (d), on a, pour tout (i, j) et pour tout n,
dim k H
j (Y, Ω
i
Y /k ) = h
i j ,
dim k H
n
DR (Y /k) = h
n .
Donc
i+j=n h
i j = h
n pour tout n, ce qui ach` eve la d´ emonstration.
Th´ eor` eme 6.10 (th´ eor` eme d’annulation de Kodaira-Akizuki-Nakano [KAN],
[AkN]). Soient K un corps de caract´ eristique nulle, X un K-sch´ ema projectif
et lisse, purement de dimension d, et L un faisceau inversible ample sur X. Alors
on a :
H
j (X, L ⊗ Ω
i
X/K ) = 0 pour i + j > d,
(6.10.1)
H
j (X, L
⊗−1 ⊗ Ω
i
X/K ) = 0 pour i + j < d.
(6.10.2)
On d´ eduit 6.10 de 5.8 comme 6.9 de 5.6. On a besoin pour cela d’un r´ esultat
de passage ` a la limite pour les modules, g´ en´ eralisant et pr´ ecisant 6.1.2 (cf. (EGA
IV 8.5, 8.10.5.2)) :
Proposition 6.11. Soit, comme en 6.1, (S i ) i∈I un syst` eme projectif filtrant de
sch´ emas affines, de limite S. Soient i 0 ∈ I, X i 0 un S i 0 -sch´ ema de pr´ esentation
finie, et consid´ erons le syst` eme projectif cart´ esien (X i ) qui s’en d´ eduit pour i i 0 ,
de limite X = S × S i 0 X i 0 .
(a) Si E est un O X -module de pr´ esentation finie, il existe i i 0 et un O X i -module
E i de pr´ esentation finie dont E se d´ eduit par extension des scalaires. Si E
est localement libre (resp. localement libre de rang r), il existe j i tel que
E j = O X j ⊗ O X i E i soit localement libre (resp. localement libre de rang r). Si X
est projectif sur S et E est un O X -module inversible ample (resp. tr` es ample)
(5.7), il existe j i tel que X j soit projectif sur S j et E j soit inversible ample
(resp. tr` es ample).
(b) Soient E i 0 , F i 0 des O X i 0 -modules de pr´ esentation finie, et consid´ erons les
syst` emes (E i ), (F i ) qui s’en d´ eduisent par extension des scalaires sur les X i
pour i i 0 , ainsi que les modules E et F qui s’en d´ eduisent par extension des
scalaires sur X. On a alors une application naturelle
lim ind ii 0 Hom O X i (E i , F i ) −→ Hom O X (E, F ),
qui est bijective.
L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
Par construction, Y est un k-sch´ ema propre et lisse, de dimension < p, relev´ e sur
W 2 (k). Donc, d’apr` es 5.6, la suite spectrale de Hodge vers De Rham de Y sur k
d´ eg´ en` ere en E 1 . On a donc, pour tout n,
i+j=n
dim k H
j (Y, Ω
i
Y /k ) = dim k H
n
DR (Y /k).
Mais d’apr` es 6.6 (c) et (d), on a, pour tout (i, j) et pour tout n,
dim k H
j (Y, Ω
i
Y /k ) = h
i j ,
dim k H
n
DR (Y /k) = h
n .
Donc
i+j=n h
i j = h
n pour tout n, ce qui ach` eve la d´ emonstration.
Th´ eor` eme 6.10 (th´ eor` eme d’annulation de Kodaira-Akizuki-Nakano [KAN],
[AkN]). Soient K un corps de caract´ eristique nulle, X un K-sch´ ema projectif
et lisse, purement de dimension d, et L un faisceau inversible ample sur X. Alors
on a :
H
j (X, L ⊗ Ω
i
X/K ) = 0 pour i + j > d,
(6.10.1)
H
j (X, L
⊗−1 ⊗ Ω
i
X/K ) = 0 pour i + j < d.
(6.10.2)
On d´ eduit 6.10 de 5.8 comme 6.9 de 5.6. On a besoin pour cela d’un r´ esultat
de passage ` a la limite pour les modules, g´ en´ eralisant et pr´ ecisant 6.1.2 (cf. (EGA
IV 8.5, 8.10.5.2)) :
Proposition 6.11. Soit, comme en 6.1, (S i ) i∈I un syst` eme projectif filtrant de
sch´ emas affines, de limite S. Soient i 0 ∈ I, X i 0 un S i 0 -sch´ ema de pr´ esentation
finie, et consid´ erons le syst` eme projectif cart´ esien (X i ) qui s’en d´ eduit pour i i 0 ,
de limite X = S × S i 0 X i 0 .
(a) Si E est un O X -module de pr´ esentation finie, il existe i i 0 et un O X i -module
E i de pr´ esentation finie dont E se d´ eduit par extension des scalaires. Si E
est localement libre (resp. localement libre de rang r), il existe j i tel que
E j = O X j ⊗ O X i E i soit localement libre (resp. localement libre de rang r). Si X
est projectif sur S et E est un O X -module inversible ample (resp. tr` es ample)
(5.7), il existe j i tel que X j soit projectif sur S j et E j soit inversible ample
(resp. tr` es ample).
(b) Soient E i 0 , F i 0 des O X i 0 -modules de pr´ esentation finie, et consid´ erons les
syst` emes (E i ), (F i ) qui s’en d´ eduisent par extension des scalaires sur les X i
pour i i 0 , ainsi que les modules E et F qui s’en d´ eduisent par extension des
scalaires sur X. On a alors une application naturelle
lim ind ii 0 Hom O X i (E i , F i ) −→ Hom O X (E, F ),
qui est bijective.