6. De la caract´ eristique p > 0 `
a la caract´ eristique nulle
153
complexes Rf ∗ Ω
i
X/S et Rf ∗ Ω
•
X/S sont parfaits sur S (et non seulement sur U ). La
notion de complexe parfait joue un rˆ ole important dans de nombreuses questions
de g´ eom´ etrie alg´ ebrique.
(b) Dans les ´ enonc´ es de 6.6 concernant Ω
i
X/S , on peut remplacer Ω
i
X/S par
n’importe quel O X -module F localement libre de type fini (voire coh´ erent et plat
relativement ` a S) : les conclusions de (a), (b) et (c) sont encore valables, ` a condition
de remplacer Ω
i
X ′ /S ′ par le faisceau F
′ image inverse de F sur X
′ . De mˆ eme, le
complexe Rf ∗ F est parfait sur S.
Nous sommes maintenant en mesure d’´ enoncer et de d´ emontrer l’application
promise de 5.6 :
Th´ eor` eme 6.9 (th´ eor` eme de d´ eg´ en´ erescence de Hodge). Soient K un corps de
caract´ eristique nulle, et X un K-sch´ ema propre et lisse. Alors la suite spectrale de
Hodge de X sur K (4.8.3)
E
i j
1 = H
j (X, Ω
i
X/K ) =⇒ H
∗
DR (X/K)
d´ eg´ en` ere en E 1 .
Posons dim K H
j (X, Ω
i
X/K ) = h
i j , dim H
n
DR (X/K) = h
n . Il s’agit de prouver
que, pour tout n, h
n =
i+j=n h
i j (cf. (4.8.3)). Ecrivons K comme limite
inductive de la famille (A λ ) λ∈L de ses sous-Z-alg` ebres de type fini. D’apr` es 6.3,
il existe α ∈ L et un S α -sch´ ema propre et lisse X α (o` u S α = Spec A α ) dont X
se d´ eduit par le changement de base Spec K −→ S α . Quitte ` a remplacer A α par
A α [t
−1 ] pour un t ∈ A α non nul convenable, on peut supposer, d’apr` es 6.5, que S α
est lisse sur Spec Z. Abr´ egeons A α en A, S α en S, X α en X, et notons f : X −→ S
le morphisme structural. Quitte ` a nouveau ` a remplacer A par A[t
−1 ], on peut,
d’apr` es 6.6 (a), supposer que les faisceaux R
j f ∗ Ω
i
X/S (resp. R
n f ∗ Ω
•
X/S ) sont libres
de rang constant, n´ ecessairement´ egal alors ` a h
i j (resp. h
n ) d’apr` es 6.6 (c) et (d).
Comme la dimension relative de X sur S est une fonction localement constante et
que X est quasi-compact, on peut d’autre part choisir un entier d qui majore cette
dimension en tout point de X et donc la dimension des fibres de X sur S en tout
point de S. Appliquant 6.4 (b) ` a Z = Spec A[1/N ] pour N convenable (disons, le
produit des nombres premiers d), on peut choisir un point ferm´ e s de S, dont le
corps r´ esiduel k = k(s) (un corps fini) est de caract´ eristique p > d. Comme S est
lisse sur Spec Z, le morphisme canonique Spec k −→ S (une immersion ferm´ ee) se
prolonge (par d´ efinition de la lissit´ e (2.2)) en un morphisme g : Spec W 2 (k) −→ S,
o` u W 2 (k) est l’anneau des vecteurs de Witt de longueur 2 sur k (3.9). Notons
Y = X s la fibre de X en s = Spec k et Y 1 le sch´ ema sur Spec W 2 (k) d´ eduit de X
par le changement de base g. On a donc des carr´ es cart´ esiens :
Y − −−− → Y 1 − −−−−−− → X ←− X
s −→ Spec W 2 (k)
g
−→ S ←− Spec K.
a la caract´ eristique nulle
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complexes Rf ∗ Ω
i
X/S et Rf ∗ Ω
•
X/S sont parfaits sur S (et non seulement sur U ). La
notion de complexe parfait joue un rˆ ole important dans de nombreuses questions
de g´ eom´ etrie alg´ ebrique.
(b) Dans les ´ enonc´ es de 6.6 concernant Ω
i
X/S , on peut remplacer Ω
i
X/S par
n’importe quel O X -module F localement libre de type fini (voire coh´ erent et plat
relativement ` a S) : les conclusions de (a), (b) et (c) sont encore valables, ` a condition
de remplacer Ω
i
X ′ /S ′ par le faisceau F
′ image inverse de F sur X
′ . De mˆ eme, le
complexe Rf ∗ F est parfait sur S.
Nous sommes maintenant en mesure d’´ enoncer et de d´ emontrer l’application
promise de 5.6 :
Th´ eor` eme 6.9 (th´ eor` eme de d´ eg´ en´ erescence de Hodge). Soient K un corps de
caract´ eristique nulle, et X un K-sch´ ema propre et lisse. Alors la suite spectrale de
Hodge de X sur K (4.8.3)
E
i j
1 = H
j (X, Ω
i
X/K ) =⇒ H
∗
DR (X/K)
d´ eg´ en` ere en E 1 .
Posons dim K H
j (X, Ω
i
X/K ) = h
i j , dim H
n
DR (X/K) = h
n . Il s’agit de prouver
que, pour tout n, h
n =
i+j=n h
i j (cf. (4.8.3)). Ecrivons K comme limite
inductive de la famille (A λ ) λ∈L de ses sous-Z-alg` ebres de type fini. D’apr` es 6.3,
il existe α ∈ L et un S α -sch´ ema propre et lisse X α (o` u S α = Spec A α ) dont X
se d´ eduit par le changement de base Spec K −→ S α . Quitte ` a remplacer A α par
A α [t
−1 ] pour un t ∈ A α non nul convenable, on peut supposer, d’apr` es 6.5, que S α
est lisse sur Spec Z. Abr´ egeons A α en A, S α en S, X α en X, et notons f : X −→ S
le morphisme structural. Quitte ` a nouveau ` a remplacer A par A[t
−1 ], on peut,
d’apr` es 6.6 (a), supposer que les faisceaux R
j f ∗ Ω
i
X/S (resp. R
n f ∗ Ω
•
X/S ) sont libres
de rang constant, n´ ecessairement´ egal alors ` a h
i j (resp. h
n ) d’apr` es 6.6 (c) et (d).
Comme la dimension relative de X sur S est une fonction localement constante et
que X est quasi-compact, on peut d’autre part choisir un entier d qui majore cette
dimension en tout point de X et donc la dimension des fibres de X sur S en tout
point de S. Appliquant 6.4 (b) ` a Z = Spec A[1/N ] pour N convenable (disons, le
produit des nombres premiers d), on peut choisir un point ferm´ e s de S, dont le
corps r´ esiduel k = k(s) (un corps fini) est de caract´ eristique p > d. Comme S est
lisse sur Spec Z, le morphisme canonique Spec k −→ S (une immersion ferm´ ee) se
prolonge (par d´ efinition de la lissit´ e (2.2)) en un morphisme g : Spec W 2 (k) −→ S,
o` u W 2 (k) est l’anneau des vecteurs de Witt de longueur 2 sur k (3.9). Notons
Y = X s la fibre de X en s = Spec k et Y 1 le sch´ ema sur Spec W 2 (k) d´ eduit de X
par le changement de base g. On a donc des carr´ es cart´ esiens :
Y − −−− → Y 1 − −−−−−− → X ←− X
s −→ Spec W 2 (k)
g
−→ S ←− Spec K.